Autonomní rovnice prvního řádu

Autonomní diferenční rovnice prvního řádu je taková rovnice, v níž se index posloupnosti nevyskytuje explicitně. Ve tvaru rekurentní formule ji můžeme zapsat jako

(6)

kde Pomocí operátoru posunu můžeme rovnici Autonomní rovnice (1) zapsat ještě stručněji ve tvaru

Autonomní rovnice tedy mohou modelovat proces, který se odehrává v podmínkách neměnících se v průběhu času. To lze interpretovat i tak, že systém je izolovaný, nepůsobí na něho žádné vnější vlivy. Posloupnost vyjadřuje nějak kvantifikovaný stav tohoto procesu. Funkce popisuje, jak se stav v průběhu časového kroku začínajícího v okamžiku změní z hodnoty na hodnotu Množina je množinou hodnot, kterých může stav procesu nabývat, proto ji nazýváme stavový prostor.

U procesů probíhajících v časově neproměnných podmínkách nezáleží na tom jaký čas zvolíme za počátek, podrobněji:

Tvrzení 2.1. Je-li posloupnost řešením rovnice Autonomní rovnice (6) s počáteční podmínkou pak posloupnost definovaná vztahem je řešením rovnice Autonomní rovnice (6) s počáteční podmínkou

Důkaz. Posloupnost je řešením rovnice Autonomní rovnice (6), neboť

a splňuje počáteční podmínku

Bez újmy na obecnosti tedy můžeme rovnici Autonomní rovnice (6) uvažovat s počáteční podmínkou

(7)

přitom musí být

Úlohu Autonomní rovnice (6), Autonomní rovnice (7) můžeme řešit tak, že postupně počítáme jednotlivé členy posloupnosti řešení, tj.

Posloupnost je tedy řešením úlohy Autonomní rovnice (6), Autonomní rovnice (7) právě tehdy, když pro každý index (symbol označuje -krát složenou funkci nikoliv -tou mocninu funkční hodnoty). Z tohoto vyjádření je vidět, že z ohraničenosti funkce plyne ohraničenost řešení rovnice Autonomní rovnice (6). Podrobněji:

Tvrzení 2.2.Pokud existuje konstanta resp. taková, že resp. pro všechna pak pro každé řešení rovnice Autonomní rovnice (6) a pro všechny indexy platí resp.

O odhadu řešení úlohy Autonomní rovnice (6), Autonomní rovnice (7) z jiného pohledu vypovídá následující

Tvrzení 2.3. Nechť existuje číslo takové, že pro všechna platí

Nechť je řešení úlohy Autonomní rovnice (6), Autonomní rovnice (7). Pak pro každý index řešení splňuje nerovnost

nebo existuje takové, že Pokud nemůže druhá možnost nastat.

Důkaz. Tvrzení dokážeme úplnou indukcí. Pro platí Indukční krok v prvním případě je

ve druhém má obrácené nerovnosti.