
Autonomní rovnice prvního řádu
Autonomní diferenční rovnice prvního řádu je taková rovnice, v níž se index posloupnosti nevyskytuje explicitně. Ve tvaru rekurentní formule ji můžeme zapsat jako
|
(6) |
kde Pomocí operátoru posunu
můžeme rovnici Autonomní rovnice (1) zapsat ještě stručněji ve tvaru
Autonomní rovnice tedy mohou modelovat proces, který se odehrává v podmínkách neměnících se v průběhu času. To lze interpretovat i tak, že systém je izolovaný, nepůsobí na něho žádné vnější vlivy. Posloupnost vyjadřuje nějak kvantifikovaný stav tohoto procesu. Funkce
popisuje, jak se stav v průběhu časového kroku začínajícího v okamžiku
změní z hodnoty
na hodnotu
Množina
je množinou hodnot, kterých může stav procesu nabývat, proto ji nazýváme stavový prostor.
U procesů probíhajících v časově neproměnných podmínkách nezáleží na tom jaký čas zvolíme za počátek, podrobněji:
Tvrzení 2.1. Je-li posloupnost řešením rovnice Autonomní rovnice (6) s počáteční podmínkou
pak posloupnost
definovaná vztahem
je řešením rovnice Autonomní rovnice (6) s počáteční podmínkou
Důkaz. Posloupnost je řešením rovnice Autonomní rovnice (6), neboť
a splňuje počáteční podmínku
Bez újmy na obecnosti tedy můžeme rovnici Autonomní rovnice (6) uvažovat s počáteční podmínkou
|
(7) |
přitom musí být
Úlohu Autonomní rovnice (6), Autonomní rovnice (7) můžeme řešit tak, že postupně počítáme jednotlivé členy posloupnosti řešení, tj.
Posloupnost je tedy řešením úlohy Autonomní rovnice (6), Autonomní rovnice (7) právě tehdy, když
pro každý index
(symbol
označuje
-krát složenou funkci
nikoliv
-tou mocninu funkční hodnoty). Z tohoto vyjádření je vidět, že z ohraničenosti funkce
plyne ohraničenost řešení rovnice Autonomní rovnice (6). Podrobněji:
Tvrzení 2.2.Pokud existuje konstanta resp.
taková, že
resp.
pro všechna
pak pro každé řešení
rovnice Autonomní rovnice (6) a pro všechny indexy
platí
resp.
O odhadu řešení úlohy Autonomní rovnice (6), Autonomní rovnice (7) z jiného pohledu vypovídá následující
Tvrzení 2.3. Nechť existuje číslo takové, že pro všechna
platí
Nechť
je řešení úlohy Autonomní rovnice (6), Autonomní rovnice (7). Pak pro každý index
řešení
splňuje nerovnost
nebo existuje takové, že
Pokud
nemůže druhá možnost nastat.
Důkaz. Tvrzení dokážeme úplnou indukcí. Pro platí
Indukční krok v prvním případě je
ve druhém má obrácené nerovnosti.