Lineární a adaptivní zpracování dat |
Lineární a adaptivní zpracování dat: řešené úlohy v MATLABu |
Matematické modely v biologii |
Maticové populační modely |
Signály a lineární systémy |
Spojité deterministické modely I |
Diskrétní deterministické modely |
Používané symboly |
Přípravné úvahy |
Úvod do matematického modelování |
Vybrané kapitoly z matematického modelování |
Výstupy z výukové jednotky |
Úvod |
Posloupnosti |
Posloupnosti 2 |
Operátory na prostoru posloupností |
Diferenční a sumační počet |
Úlohy k procvičení |
Diferenční rovnice |
Výstupy z výukové jednotky |
Úvod |
Diferenční rovnice a počáteční úlohy |
Systémy diferenčních rovnic |
Operátorově-diferenční rovnice |
Úlohy k procvičení |
Lineární rovnice |
Výstupy z výukové jednotky |
Úvod |
Lineární rovnice prvního řádu |
Některé explicitně řešitelné rovnice |
Homogenní rovnice a exponenciální posloupnost |
Nehomogenní rovnice a metoda variace konstanty |
Kvalitativní vlastnosti řešení lineární rovnice ve zvláštních případech |
Lineární rovnice k-tého řádu |
Fundamentální systém řešení homogenní rovnice |
Nehomogenní rovnice a metoda variace konstant |
Homogenní rovnice s konstantními koeficienty |
Rovnice s konstantními koeficienty a speciální pravou stranou |
Systémy lineárních rovnic prvního řádu |
Homogenní systém a fundamentální matice |
Nehomogenní systém a metoda variace konstant |
Systém s konstantní maticí |
Ekvivalence lineární rovnice k-tého řádu a systému lineárních rovnic prvního řádu |
Úlohy k procvičení |
Výstupy z výukové jednotky |
Úvod |
Riccatiho a Bernoulliova rovnice |
Homogenní rovnice |
Logaritmicky lineární rovnice |
Rovnice řešitelné speciálními substitucemi |
Úlohy k procvičení |
Autonomní rovnice |
Výstupy z výukové jednotky |
Úvod |
Autonomní rovnice prvního řádu |
Transformace Z a její užití |
Grafické řešení |
Rovnovážné body a jejich stabilita |
Cykly a atraktory |
Autonomní rovnice závislé na parametru |
Autonomní systémy |
Stabilita lineárních systémů |
Linearizace nelineárních systémů v okolí rovnovážného bodu |
Invariantní množiny autonomních systémů |
Autonomní rovnice vyšších řádů |
Výstupy z výukové jednotky |
Úvod |
Transformace Z |
Volterrova diferenční rovnice konvolučního typu |
Aplikace |
Operátor posunu
Definice 3.1. Operátor posunu (shift operator) přiřadí posloupnosti posloupnost definovanou vztahem
Obrazem posloupnosti při zobrazení je tedy posloupnost obrazem posloupnosti je posloupnost
Věta 3.2. Operátor posunu je bijekce. Zúžení na množinu kde je lineární.
Důkaz. Nechť je libovolná posloupnost. Definujme posloupnost tak, že pro každé položíme Pak je tedy Zobrazení je tedy surjektivní.
Nechť posloupnosti jsou různé. Pokud existuje nějaká hodnota taková, že odtud plyne, že tedy Pokud pak podle definice Přípravné úvahy 3.1 je také a opět Zobrazení je tedy injektivní (prosté).
Pro všechny posloupnosti takové, že pro všechna reálná čísla a každé celé číslo platí
takže zobrazení je lineární.