Úvod

Máme-li zadánu počáteční úlohu pro lineární rovnici, můžeme napsat explicitní vyjádření obecného členu posloupnosti, která tuto úlohu řeší. Problém lze tedy považovat za vyřešený.

Ovšem reálné procesy nejsou vždy modelovány lineárními rovnicemi. Tři modely růstu populace v omezeném prostředí Přípravné úvahy (14), Přípravné úvahy (16) nebo Přípravné úvahy (17) sestavené v kapitole Přípravné úvahy jsou zapsány nelineárními rovnicemi. Explicitní vyjádření obecného členu řešení těchto rovnic může poskytnout úplnější a spolehlivější informaci o řešení, než výpočet konečně mnoha členů rekurentně; ten může být při snaze vypočítat řešení do co možná nejvzdálenější budoucnosti znehodnocen numerickými chybami (čísla jsou v počítači uložena jen s omezeným počtem platných míst, jsou tedy zatížena nějakou chybou a při velkém objemu výpočtů se tyto malé chyby mohou akumulovat a vytvořit chybu velkou).

Pokusme se tedy najít explicitní řešení Bevertonovy-Holtovy rovnice Přípravné úvahy (16). Budeme hledat řešení nenulové, tj. chceme modelovat nevyhynulou populaci. V tom případě můžeme napsat rovnost převrácených hodnot obou stran rovnice Přípravné úvahy (16)

Nyní pro zjednodušení označíme posloupnost převrácených hodnot posloupnosti Podle předchozí rovnosti vidíme, že posloupnost splňuje rekurentní formuli

To je lineární rekurentní formule prvního řádu s konstantními koeficienty. Proto podle důsledku Lineární rovnice 2.7 věty Lineární rovnice 2.5 můžeme obecný člen posloupnosti vyjádřit ve tvaru

přitom Můžeme tedy napsat obecný člen řešení Bevertonovy-Holtovy rovnice s počáteční hodnotou jako převrácenou hodnotu posloupnosti tj.

(1)

Snadno ověříme, že touto formulí je skutečně zadáno řešení počátečn úlohy pro Bevertonovu-Holtovu rovnici s počáteční hodnotou Navíc takto zadaná posloupnost je v případě konstantní nulová, vyjadřuje tedy také řešení úlohy s počáteční hodnotou

Nyní můžeme snadno vyšetřit kvalitativní vlastnosti řešení Bevertonovy-Holtovy rovnice:

• Pro nebo je řešení
• Pokud pak takže pro každou počáteční podmínku řešení splňuje

• Pokud pak takže pro každou počáteční podmínku platí

Tyto výsledky dobře odpovídají ekologické intuici: pokud je vnitřní koeficient růstu větší než 1, tj. pokud v neomezeném prostředí má populace porodnost větší než úmrtnost, pak se její velikost ustálí na kapacitě prostředí; pokud je úmrtnost větší než porodnost, populace vymře.

Postup hledání řešení Bevertonovy-Holtovy rovnice můžeme zobecnit: Z tvaru diferenční rovnice uhodneme funkci tak, aby substituce převedla danou nelineární diferenční rovnici na rovnici lineární. Problém tohoto postupu je v onom „hádání funkce z tvaru rovnice“.

Můžeme ovšem postupovat i naopak. Napíšeme lineární rovnici, zvolíme nelineární prostou funkci a do lineární rovnice dosadíme za výraz Při označení tak dostaneme diferenční rovnici pro neznámou posloupnost která je řešitelná substitucí

Zavedení substituce v diferenční rovnici může být užitečné i v případě, že nevede bezprostředně k jejímu vyřešení. Může ale např. zredukovat počet parametrů a tím rovnici zjednodušit.

Uvažujme logistickou rovnici Přípravné úvahy (14) a označme

(2)

v případě modelu růstu populace se jedná o změnu měřítka velikosti populace. Při tomto označení je

substituce tedy převádí logistickou rovnici Přípravné úvahy (14) na rovnici s jediným parametrem ve tvaru

(3)

Při interpretaci logistické rovnice jako modelu populačního růstu substituce také vyjadřuje „přirozené“ měřítko velikosti populace - kapacitu prostředí „diskontovanou“ vnitřním koeficientem růstu. (Ověřte, že stejná substituce převádí i rovnici Bevertonovu-Holtovu na rovnici s jedním parametrem; v případě modelů růstu populace Přípravné úvahy (14) a Přípravné úvahy (16) tedy máme stejná „přirozená“ měřítka velikosti.)

V prvních třech částech této kapitoly uvedeme některé typy nelineárních diferenčních rovnic, u nichž je známa substituce převádějící je na rovnice lineární. V poslední části ukážeme speciální rovnice, které byly získány volbou goniometrických nebo hyperbolických funkcí na místě transformující funkce Řešení těchto rovnic bude užitečné pro nalezení explicitního řešení logistické rovnice Některé explicitně řešitelné rovnice (3) pro několik speciálních hodnot parametru