Homogenní rovnice s konstantními koeficienty

Jedná se o rovnici

(34)

kde reálné koeficienty splňují rovnost

(35)

analogickou k rovnosti Lineární rovnice (35). Rovnice Lineární rovnice (34) má pro libovolné počáteční podmínky tvaru Lineární rovnice (21) jediné řešení, které je definováno pro každé

Stejně jako v případě obecné lineární rovnice -tého řádu můžeme rovnici Lineární rovnice (34) přepsat na rovnici druhého typu

(36)

kde jsme označili

S pomocí operátoru posunu můžeme tuto rovnici přepsat do tvaru

Položíme-li můžeme operátorovou rovnici zapsat ještě stručněji

(37)

Abychom našli řešení rovnice Lineární rovnice (36), provedeme následující heuristickou úvahu. Lineární homogenní diferenční rovnice prvního řádu druhého typu s konstantními koeficienty je tvaru

a podle výsledků odstavce Nehomogenní rovnice a metoda variace konstanty má řešení

Jako analogii tohoto výsledku budeme hledat řešení rovnice Lineární rovnice (36) ve tvaru kde je zatím neurčená nenulová konstanta. Dosadíme tuto posloupnost do rovnice Lineární rovnice (36)

a po vynásobení výrazem dostaneme charakteristickou rovnici

(38)

Řešení této algebraické rovnice se nazývají charakteristické kořeny. Povšimněme si, že žádný kořen rovnice Lineární rovnice (38) není nulový, neboť

Příklad 3.4.

Věta 3.5. Nechť je -násobný kořen charakteristické rovnice Lineární rovnice (38). Pak každá z posloupností definovaných vztahem

je řešením lineární homogenní diferenční rovnice Lineární rovnice (36).

Důkaz. Položíme a polynom  na levé straně rovnice Lineární rovnice (38) označíme tj.

Nejprve dokážeme pomocné tvrzení: Ke každému přirozenému číslu a každému přirozenému číslu existuje polynom stupně nejvýše ve dvou proměnných takový, že

Tvrzení dokážeme úplnou indukcí vzhledem k proměnné Pro je

tedy

Indukční krok je obsažen ve výpočtu:

Stačí tedy položit

a pomocné tvrzení je dokázáno.

Nechť nyní je -násobný kořen charakteristické rovnice. Pak je také kořenem derivací polynomu až do řádu tj.

Nyní pro podle pomocného tvrzení platí

Důsledek 3.6. Nechť je -násobný komplexní kořen charakteristické rovnice Lineární rovnice (38). Pak každá z posloupností definovaných některým ze vztahů

je řešením lineární homogenní diferenční rovnice Lineární rovnice (36).

Důkaz. Poněvadž polynom na levé straně rovnice Lineární rovnice (38) má reálné koeficienty, je také komplexně sdružené číslo kořenem charakteristické rovnice Lineární rovnice (38) a má stejnou násobnost Podle věty Lineární rovnice 3.5 (v níž jsme nepředpokládali, že by kořen charakteristické rovnice byl reálný), je každá z posloupností definovaných vztahem

řešením rovnice Lineární rovnice (36). Podle principu superpozice jsou také posloupnosti

řešením této rovnice.

Důsledek 3.7. Každému reálnému -násobnému charakteristickému kořenu odpovídá řešení lineární homogenní rovnice Lineární rovnice (36)

a každému komplexnímu -násobnému charakteristickému kořenu odpovídá řešení lineární homogenní rovnice Lineární rovnice (36)

Důsledek 3.8. Nechť

jsou všechny jednoduché reálné různé charakteristické kořeny,

jsou všechny reálné různé charakteristické kořeny, které mají násobnosti (v tomto pořadí) a

jsou všechny komplexní charakteristické kořeny takové, že žádné dva z nich nejsou komplexně sdružené a mají násobnosti (v tomto pořadí). Přitom samozřejmě platí

Pak posloupnost definovaná vztahem

(45)

kde jsou konstanty, je řešením lineární homogenní rovnice Lineární rovnice (36).

Nechť existuje charakteristický kořen, jehož modul (absolutní hodnota) je větší, než moduly všech ostatních charakteristických kořenů. Takový charakteristický kořen musí být reálný a jednoduchý, můžeme ho tedy označit Platí

Charakteristický kořen s těmito vlastnostmi nazveme ryze dominantní. Nyní pro řešení rovnice Lineární rovnice (36) definované vztahem Lineární rovnice (45) za předpokladu platí

Dostáváme tak

Důsledek 3.9. Pokud existuje ryze dominantní charakteristický kořen a konstanta v řešení Lineární rovnice (45) rovnice Lineární rovnice (36) je nenulová, pak toto řešení je asymptoticky ekvivalentní s geometrickou posloupností s kvocientem

Řekneme, že charakteristický kořen je dominantní pokud jeho modul není menší než modul jakéhokoliv charakteristického kořene, tj. dominantní charakteristický kořen má maximální modul. Označme tento maximální modul symbolem

Nechť jsou charakteristické kořeny označeny jako v důsledku Lineární rovnice 3.8 a navíc platí

Položme

Nechť dominantní charakteristické kořeny jsou jednoduché, tj. a pokud tak Označme

Pak

Limita pro posloupnosti na pravé straně této rovnosti je rovna 0. To - zhruba řečeno - znamená, že „pro dostatečně velké se řešení rovnice Lineární rovnice (36) chová jako posloupnost “_.

Poněvadž pro libovolné platí nerovnosti

je

pro řešení rovnice Lineární rovnice (36) definované rovností Lineární rovnice (45) platí