Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datDiskrétní deterministické modely Autonomní rovnice Autonomní rovnice prvního řádu Grafické řešení

Logo Matematická biologie

Grafické řešení

Uvažujme nelineární diferenční rovnici (rekurentní formuli) prvního řádu Autonomní rovnice (6) s počáteční podmínkou Autonomní rovnice (7). Rovnici lze chápat také jako zápis zobrazení, které reálné hodnotě přiřadí hodnotu tj. jako reálnou funkci jedné reálné proměnné. Toto zobrazení lze znázornit v souřadné rovině - na vodorovnou osu nanášíme hodnoty na svislou hodnoty Nakreslíme tedy graf funkce a pro danou hodnotu na něm najdeme hodnotu
Stejným způsobem chceme najít hodnotu pomocí hodnoty Hodnotu tedy přeneseme na vodorovnou osu; to můžeme udělat tak, že sestrojíme vodorovnou úsečku ve výšce („výškou“ rozumím, že přímka incidentní s touto úsečkou prochází bodem na svislé ose) a najdeme její průsečík  s osou prvního kvadrantu, tedy bod Nyní průsečík svislé přímky procházející tímto bodem a grafu funkce má druhou souřadnici rovnu hledané hodnotě

Obr. 1. Grafické řešení autonomní rovnice Autonomní rovnice (6). Vlevo „schodový diagram“, vpravo „pavučinový diagram“, nahoře  stabilní (přitahující) pevný (rovnovážný) bod zobrazení f, dole nestabilní (odpuzující).


Při hledání hodnoty řešení uvažované diferenční rovnice tedy sestrojíme vodorovnou úsečku s krajními body a poté úsečku s krajními body a Tímto způsobem můžeme pokračovat a postupně nacházet (konstruovat) jednotlivé členy posloupnosti, která řeší danou diferenční rovnici. V závislosti na tvaru grafu funkce úsečky konstruované popsaným způsobem vytváří „schody“, obr. Autonomní rovnice 1 vlevo, (odtud používaný název „stair step diagram“) nebo „pavučinu“ („codweb diagram“), obr. Autonomní rovnice 1 vpravo.

Pokud je funkce konkávní, má nejvýše dva pevné body. To znamená, že existují nejvýše dvě hodnoty takové, že Tyto
body jsou souřadnicemi průsečíků grafu funkce a osy prvního kvadrantu. Na diagramech konstruovaných popsaným způsobem je dobře vidět, za jakých podmínek (tj. při jakém tvaru funkce ) se řešení uvažované diferenční rovnice od stacionárního bodu vzdaluje (obr. Autonomní rovnice 1 dole) nebo se k němu přibližuje (obr. Autonomní rovnice 1 nahoře).

Příklad 2.4. Procedura grafického řešení diferenční rovnice je na animovaných obrázcích ilustrována pro rovnici s funkcí danou předpisem
tj. pro rovnici

(8)

což je speciální případ Rickerova modelu Přípravné úvahy (17) vývoje velikosti populace s nepřekrývajícími se generacemi; kapacitu prostředí přitom považujeme za jednotkovou. V závislosti na velikosti růstového koeficientu může řešení monotonně konvergovat k hodnotě (na obr. Autonomní rovnice 2 pro ), konvergovat k ní s tlumenými oscilacemi (na obr. Autonomní rovnice 3 pro ), periodicky kolem ní kolísat (na obr. Autonomní rovnice 4 pro je perioda rovna 4), nebo kolísat nepravidelně, chaoticky (na obr. Autonomní rovnice 5 pro ).


 

Animace 5 - pocatecni uloha linearni rovnice.pdf
Obr. 2. Ilustrace řešení diferenční rovnice Autonomní rovnice (8) s r=1,5. V levé části obrázku je „schodovitá procedura“ konstrukce řešení, v pravé části obrázku je výsledné řešení rovnice zobrazené jako hodnoty závislé na čase.

 

Animace 6 - ilustrace reseni diferencni rovnice.pdf

Obr. 3. Ilustrace řešení diferenční rovnice Autonomní rovnice (8) s r=6. V levé části obrázku je „pavučinová procedura“ konstrukce řešení, v pravé části obrázku je výsledné řešení rovnice zobrazené jako hodnoty závislé na čase.

 

Animace 7 - ilustrace reseni diferencni rovnice 2.pdf
Obr. 4. Ilustrace řešení diferenční rovnice Autonomní rovnice (8) s r=14. V levé části obrázku je „pavučinová procedura“ konstrukce řešení, v pravé části obrázku je výsledné řešení rovnice zobrazené jako hodnoty závislé na čase.

 

Animace 8 - ilustrace reseni diferencni rovnice 3.pdf
Obr. 5. Ilustrace řešení diferenční rovnice Autonomní rovnice (8) s r=50. V levé části obrázku je „pavučinová procedura“ konstrukce řešení, v pravé části obrázku je výsledné řešení rovnice zobrazené jako
hodnoty závislé na čase.
NázevZadal
ico Animace 5 - pocatecni uloha linearni rovnice (vytvořeno: 28.6.2015)doc. RNDr. Zdeněk Pospíšil, Dr167,42 KB
ico Animace 6 - ilustrace reseni diferencni rovnice (vytvořeno: 28.6.2015)doc. RNDr. Zdeněk Pospíšil, Dr310,08 KB
ico Animace 7 - ilustrace reseni diferencni rovnice 2 (vytvořeno: 28.6.2015)doc. RNDr. Zdeněk Pospíšil, Dr287,31 KB
ico Animace 8 - ilustrace reseni diferencni rovnice 3 (vytvořeno: 28.6.2015)doc. RNDr. Zdeněk Pospíšil, Dr282,74 KB
 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Lékařské fakulty Masarykovy univerzity