Transformace Z

Nejprve připomeneme některé pojmy a tvrzení týkající se mocninných řad. Mocninná řada je řada funkcí obecně komplexní proměnné tvaru

(6)

kde je nějaká komplexní posloupnost. Poloměr konvergence řady Transformace Z a její užití (6) je definován vztahem

přitom klademe pokud a pokud Pro mocninné řady platí

Věta 2.1. (Cauchy-Hadamard). Mocninná řada Transformace Z a její užití (6) konverguje absolutně a stejnoměrně na množině Na množině řada Transformace Z a její užití (6) diverguje.

Poloměr konvergence mocninné řady Transformace Z a její užití (6) lze také vypočítat pomocí některého ze vztahů

pokud některá z těchto limit existuje.

Nyní již budeme směřovat k zavedení transformace jisté třídy reálných posloupností.

Označme množinu komplexních funkcí komplexní proměnné, tj.

a množinu posloupností

Posloupnosti z množiny nazýváme kauzální posloupnosti.¹

Definice 2.2. Transformace je zobrazení které kauzální posloupnosti přiřadí komplexní funkci definovanou mocninnou řadou

Vzhledem k tomu, že definičním oborem transformace jsou kauzální posloupnosti, můžeme definiční vztah psát ve tvaru

Označme nyní

Z Cauchyovy-Hadamardovy věty plyne, že řada definující obraz kauzální posloupnosti konverguje absolutně a stejnoměrně na množině a diverguje na množině Zejmána pokud je pak řada konverguje všude s výjimkou bodu ; pokud pak řada diverguje všude. Hodnotu lze také vyjádřit jako

pokud některá z uvedených limit existuje.

Transformace je prostá. Pokud totiž dvě posloupnosti mají stejný obraz, pak pro všechna platí

Z věty o jednoznačnosti Laurentovy řady nyní plyne, že pro všechna a tedy

Vlastnosti transformace které budeme potřebovat, shrneme do následujícího

Tvrzení 2.3.

1. Transformace je lineární zobrazení na množině kauzálních posloupností, tj.

pro libovolná čísla a libovolné kauzální posloupnosti

2. Transformace převádí operátor posunu na aritmetické operace násobení a sčítání:

obecně

pro libovolnou kauzální posloupnost a přirozené číslo

3. Limita obrazu kauzální posloupnosti v nevlastním bodě je rovna počáteční hodnotě posloupnosti

4. Limitu kauzální posloupnosti lze vyjádřit pomocí limity jejího obrazu ve vlastním bodě

pokud je

5.  Nechť a je kauzální posloupnost. Je-li kauzální posloupnost  definovaná vztahem pak

6. Nechť je kauzální posloupnost a posloupnost je definovaná vztahem Pak

přitom označuje -krát iterovaný diferenciální operátor

Důkaz.

Pro -tý posun provedeme důkaz úplnou indukcí. Indukční krok je

4. Platí

a současně podle Transformace Z a její užití 2.3.2 je

Odtud dostaneme

5. 
   
6. Je-li pak

Pro kauzální posloupnost zavedenou vztahem tvrzení dokážeme úplnou indukcí vzhledem k exponentu Označíme a provedeme indukční krok:

Transformace některých posloupností lze spočítat explicitně. Několik výsledků je uvedeno v následujícím

Tvrzení 2.4. Obrazy některých posloupností.

1.  Nechť kauzální posloupnost má nultý člen jednotkový a od prvního členu dále je geometrická s kvocientem tj. pro Pak

Zejména pro tj. pro posloupnost

platí

2. Pro posloupnost definovanou vztahem

kde platí a

3. Posloupnost „Kroneckerovo “ s indexem je definována vztahem

Tato posloupnost bývá také někdy nazývána jednotkový impuls v čase Její obraz je s Zejména platí pro

Důkaz.

1. Podle známého vzorce pro součet geometrické řady platí pro

2. Platí

takže podle předchozího výsledku je

Podle části Transformace Z a její užití 2.3.2 v Transformace Z a její užití 2.3  je současně

Porovnáním výrazů na pravých stranách těchto rovností dostaneme výsledek.

¹Termín „kauzální posloupnost“ patrně vyjadřuje představu, že posloupnost před počátečním časem 0 neexistovala a v čase 0 z nějaké příčiny (latinsky causa) vznikla. Posloupnost, která existuje „od věčnosti“, žádnou příčinu nemá. Slabinou tohoto zdůvodnění je fakt, že nulovost není totéž co neexistence, nula není „nic“.