Rovnice I

Rovnice

Řešení uvažované úlohy je pro libovolné určeno jednoznačně, neboť se jedná o rekurentní formuli prvního řádu s počáteční podmínkou. Přitom je na pravé straně rovnosti výraz definovaný pro jakoukoliv hodnotu

Z rovnice a z počáteční podmínky Některé explicitně řešitelné rovnice (17) plyne, že hodnota řešení musí splňovat rovnici Tato algebraická rovnice pro neznámou nemá reálné řešení, pokud a má dvě různá reálná řešení, pokud Obecně tedy úloha není jednoznačně řešitelná pro Proto budeme řešení hledat pouze pro

Pokud počáteční hodnota splňuje nerovnost položíme S využitím známých vztahů pro goniometrické funkce

dostaneme

To znamená, že je řešením goniometrické rovnice

a tedy

Každá z tohoto spočetného systému lineárních nehomogenních diferenčních rovnic prvního řádu má podle důsledku Lineární rovnice 2.7 věty Lineární rovnice 2.5 řešení tvaru

kde tj. Druhý sčítanec na pravé straně rovnosti můžeme upravit na tvar

Součet celých čísel je celé číslo a to znamená, že druhý sčítanec je sudým násobkem tj.

pro nějaké Zpětnou substitucí a úpravou s využitím součtového vzorce

dostaneme

neboť cosinus je sudá funkce. Řešení úlohy

(18)

je tedy tvaru

Pokud je položíme S využitím známého vztahu pro hyperbolický cosinus¹

dostaneme

Hodnota je tedy řešením rovnice Poněvadž hyperbolický cosinus je sudá funkce, která je ryze monotonní na každém z intervalů a platí

což jsou dvě rekurentní formule pro geometrickou posloupnost, jedna má kvocient 2, druhá -2. Posloupnost tedy můžeme vyjádřit ve tvaru

kde tj.

Poněvadž hyperbolický cosinus je sudá funkce, dostaneme řešení úlohy s počáteční hodnotou ve tvaru

Příklad 5.1.

Nejprve upravíme pravou stranu rovnice tak, aby byla tvaru pro nějakou funkci a nějaký výraz závisející na použijeme doplnění na úplný čtverec:

Odtud vidíme, že daná diferenční rovnice je ekvivalentní s rovnicí

Můžeme tedy použít substituci která převádí danou úlohu na počáteční úlohu ve tvaru

která má řešení

Řešení dané úlohy je tedy pro dáno výrazem

 

1