Systémy lineárních rovnic prvního řádu

Nechť všechny posloupnosti mají stejný definiční obor. Systém lineárních diferenčních rovnic (-rozměrný lineární systém) prvního řádu je soustava rovnic tvaru

(52)

Pokud jsou všechny posloupnosti nulové, systém se nazývá homogenní, v opačném případě nehomogenní.

Zavedeme vektorové posloupnosti a maticovou posloupnost

Systém rovnice Lineární rovnice (52) můžeme nyní stručně zapsat jako jednu vektorovou rovnici ve tvaru

(53)

Tuto explicitní diferenční rovnici (systém explicitních diferenčních rovnic) prvního typu můžeme zapsat ve tvaru vektorové rekurentní formule (systému rekurentních formulí)

nebo

(54)

Vektorová rovnice Lineární rovnice (53) je -rozměrnou analogií lineární diferenční rovnice prvního řádu Lineární rovnice (6), vektorová rekurentní formule Lineární rovnice (53) je -rozměrnou analogií rekurentní formule Lineární rovnice (8). Toto pozorování ukazuje, že teorie systémů lineárních diferenčních rovnic je zobecněním teorie lineárních diferenčních rovnic; nebo naopak, teorie lineárních rovnic je speciálním případem teorie lineárních systémů pro

Definice 4.1. Řekneme, že maticová posloupnost je regresivní, pokud pro všechny indexy zjejího definičního oboru platí, že matice je regulární.

Označíme a soustavu rekurentních formulí Lineární rovnice (54) přepíšeme ve tvaru

(55)

Nechť je libovolný index z definičního oboru maticové posloupnosti takový, že také Je-li maticová posloupnost regresivní, pak je matice regulární a můžeme jednoznačně vypočítat

Tím jsme ukázali, že platí následující

Věta 4.2. Je-li maticová posloupnost regresivní, pak pro každý vektor má rovnice Lineární rovnice (53) s počáteční podmínkou jediné řešení, které je definováno na společném definičním oboru maticové posloupnosti a vektorové posloupnosti

Nehomogenní lineární vektorovou rovnici Lineární rovnice (53) můžeme zřejmě přepsat do tvaru

Z tohoto pozorování je vidět, že řešení nehomogenní -rozměrné rovnice Lineární rovnice (52) můžeme převádět na řešení homogenní -rozměrné rovnice

(56)

Podrobněji: je-li vektorová posloupnost řešením nehomogenní -rozměrné rovnice Lineární rovnice (52), pak je posloupnost

řešením rovnice Lineární rovnice (56); je-li vektorová posloupnost řešením homogenní -rozměrné rovnice Lineární rovnice (56) a má poslední složku identicky rovnu 1, pak je jejich prvních složek řešením nehomogenní rovnice Lineární rovnice (53).

Analogicky nahlédneme, že řešení -rozměrné nehomogenní lineární rekurentní formule Lineární rovnice (55) lze převádět na řešení -rozměrné homogenní lineární rekurentní formule

(57)