Systémy diferenčních rovnic

Definice 3.1. Nechť a jsou funkce proměnných se stejným definičním oborem. Systém explicitních diferenčních rovnic prvního řádu je systém rovnic tvaru

(11)

systém rekurentních formulí prvního řádu je systém rovnic tvaru

(12)

Poznámka 3.2. Systém explicitních diferenčních rovnic prvního řádu lze převést na systém rekurentních formulí prvního řádu a naopak. Stačí totiž položit

Vektorovou posloupnost a její hodnotu v indexu definujeme vztahy

jako vektor (-tici) posloupností. Označíme dále

a podobně

Diferenci a posun vektorové posloupnosti v indexu definujeme vztahy

Při tomto označení můžeme systém explicitních diferenčních rovnic zapsat jako rovnici vektorovou

a systém rekurentních formulí jako formuli vektorovou

Počáteční podmínky pro systém Diferenční rovnice (11) nebo Diferenční rovnice (12) jsou tvaru

(13)

Rovnice Diferenční rovnice (11), resp. Diferenční rovnice (12) s počáteční podmínkou Diferenční rovnice (13) se nazývá počáteční úloha pro systém Diferenční rovnice (11), resp. Diferenční rovnice (12).

Nechť posloupnost je řešením počáteční úlohy Diferenční rovnice (7), Diferenční rovnice (8). Položme

Pak tedy

a

Dále

(14)

Posloupnost je tedy první složkou řešení systému

(15)

s počáteční podmínkou Diferenční rovnice (14). Naopak, je-li posloupnost první složkou řešení počáteční úlohy Diferenční rovnice (15), Diferenční rovnice (14), pak je také řešením úlohy Diferenční rovnice (7), Diferenční rovnice (8), neboť

Systém rekurentních formulí Diferenční rovnice (15) můžeme přepsat ve tvaru ekvivalentního systému explicitních diferenčních rovnic prvního řádu

Odvodili jsme tak

Tvrzení 3.3. Rekurentní formule, resp. explicitní diferenční rovnice, -tého řádu je ekvivalentní s nějakým systémem rekurentních formulí, resp. explicitních rovnic, prvního řádu.