Ekvivalence lineární rovnice k-tého řádu a systému lineárních rovnic prvního řádu

Podle tvrzení Diferenční rovnice 3.3 je lineární diferenční rovnice -tého řádu Lineární rovnice (22) ekvivalentní se systémem lineárních diferenčních rovnic prvního řádu

Tento systém můžeme opět zapsat ve vektorovém tvaru Lineární rovnice (55), kde maticová posloupnost  a vektorová posloupnost jsou dány vztahy

V případě lineárního systému platí i opačné tvrzení - systém lineárních rovnic prvního řádu je ekvivalentní s lineární rovnicí -tého řádu. Ukážeme, jak přepsat systém na rovnici pro

Příklad 4.13. Systém dvou lineárních rovnic.

Uvažujme systém rovnic

(70)

Budeme předpokládat, že první rovnice je skutečně rovnice pro dvě posloupnosti, tj. že členy posloupnosti jsou pro každé nenulové. Za tohoto předpokladu můžeme provést následující výpočet.

V první rovnici tohoto systému budeme psát index místo indexu potom za dosadíme pravou stranu druhé rovnice a poté dosadíme posloupnost vyjádřenou z první. Dostaneme tak

To znamená, že první složka řešení systému Lineární rovnice (70) splňuje lineární diferenční rovnici druhého řádu. Analogicky dostaneme, že i druhá složka řešení systému Lineární rovnice (70) splňuje lineární diferenční rovnici druhého řádu

za předpokladu, že posloupnost je v každém indexu nenulová.

Všimněme si ještě lineární diferenční rovnice druhého řádu

(71)

Položíme-li a můžeme tuto rovnici přepsat jako systém lineárních diferenčních rovnic

Tato pozorování ukazují, že lineární rovnici druhého řádu lze převést na systém rovnic prního řádu a naopak; jinak řečeno, množina řešení systému Lineární rovnice (70) a množina řešení rovnice Lineární rovnice (71) mají stejnou strukturu. Zejména tedy množina řešení lineárního homogenního systému dvou rovnic

takového, že pro všechny indexy tvoří vektorový prostor dimenze 2.

Uvažujme nyní speciální případ systému Lineární rovnice (70), a to homogenní systém s konstantními koeficienty

(72)

nebo ve vektorovém tvaru

kde

Podle předchozích výpočtů obě složky tohoto systému splňují tutéž lineární diferenční rovnici prvního řádu

kterou můžeme stručněji zapsat ve tvaru

Z řešení příkladu v časti Příklad: Rovnice druhého řádu nyní zejména plyne:

1. Je-li pak pro každé řešení systému Lineární rovnice (72) platí

(oba charakteristické kořeny jsou v absolutní hodnotě menší než 1).

2. Je-li nebo  pak existuje řešení systému Lineární rovnice (72) takové, že

(dominantní charakteristický kořen je v absolutní hodnotě větší než 1).

3. Je-li a pak obě složky libovolného řešení systému Lineární rovnice (72) jsou pro dostatečně velký index ryze monotonní (oba charakteristické kořeny jsou reálné a dominantní je kladný).