Kvalitativní vlastnosti řešení lineární rovnice ve zvláštních případech

Rovnice s konstantními koeficienty

Uvažujme počáteční úlohu

(15)

s parametrem Řešení uvažujeme v prostoru posloupností

Je-li pak má tato úloha řešení tvaru

které je definováno pro každé Jedná se tedy o geometrickou posloupnost s kvocientem od níž je odečtena konstanta

Je-li pak má úloha Lineární rovnice (15) řešení tvaru

jedná se tedy o aritmetickou posloupnost s diferencí

Počáteční úloha Lineární rovnice (15) s dosud neuvažovaným parametrem se redukuje na tvar

takže pro každé řešení je od konstantní.

Pokud počáteční hodnota vyhovuje relaci pak je řešení úlohy Lineární rovnice (15) nekonstantní, v opačném případě je řešení konstantni.

Z uvedených vyjádření řešení je vidět, že monotonnost, ohraničenost a konvergence posloupnosti závisí na hodnotě parametru Tyto vlastnosti jsou shrnuty v tabulce Lineární rovnice 1. Na obrázku Lineární rovnice 1 jsou zobrazeny grafy řešení úlohy Lineární rovnice (15) pro hodnoty a různé hodnoty parametru

ANIMACE

Obr. 1. Řešení počáteční úlohy pro lineární rovnici Lineární rovnice (15) s počáteční hodnotou x0=0, parametrem =1 a parametrem v rozpětí od -2,5 do 0,5$.

Tab. 1. Vlastnosti řešení x počáteční úlohy Lineární rovnice (15) pro lineární rovnici s konstantními koeficienty v závislosti na hodnotách parametru ; pro počáteční hodnotu platí .

Rovnice s periodickými koeficienty

Řešení lineární homogenní rovnice s konstantním koeficientem

je geometrická posloupnost s kvocientem tj. Pokud koeficient rovnice není konstantní, ale nějak pravidelně kolísá kolem nějaké pevné hodnoty, lze očekávat, že řešení bude pravidelně kolísat kolem nějaké geometrické posloupnosti. Tuto myšlenku nyní vyjádříme přesněji.

Nechť je kladné celé číslo a je -periodická regresivní posloupnost, tj. pro každé platí Uvažujme homogenní rovnici Lineární rovnice (7) a označme

(16)

tzn. že číslo je geometrickým průměrem hodnot posloupnosti na intervalu délky periody. Podle výsledků uvedených v Homogenní rovnice a exponenciální posloupnost můžeme řešení rovnice Lineární rovnice (7) s počáteční podmínkou psát ve tvaru

Označme nyní

Posloupnost je jednoznačným řešením počáteční úlohy

neboli

(17)

Poněvadž posloupnost je -periodická, platí

takže posloupnost je také -periodická. Můžeme ji tedy také vyjádřit jako -periodickou posloupnost, pro jejíž počáteční hodnoty platí

Z provedených výpočtů plyne výsledek:

Věta 2.8. Nechť je regresivní -periodická posloupnost. Pak řešení lineární homogenní rovnice Lineární rovnice (7) je tvaru

kde hodnota je dána výrazem Lineární rovnice (16) a je -periodická posloupnost, která je řešením počáteční úlohy Lineární rovnice (17).

Řešení homogenní lineární rovnice s periodickým koeficientem je tedy součinem geometrické posloupnosti a -periodické posloupnosti. Toto vyjádření lze považovat za rozklad řešení na trend a sezónní složku v multiplikativním tvaru.

Poněvadž -periodická posloupnost je ohraničená, dostáváme

Důsledek 2.9. Řešení homogenní lineární rovnice Lineární rovnice (7) s periodickým koeficientem je ohraničená právě tehdy, když právě tehdy, když

Rovnici Lineární rovnice (16) můžeme přepsat do tvaru rekurentní formule Lineární rovnice (8). Při označení můžeme pro tuto rekurentní formuli napsat počáteční úlohu

(18)

Přepsáním věty Lineární rovnice 2.8 a jejího prvního důsledku dostaneme

Důsledek 2.10. Nechť je -periodická posloupnost taková, že pro všechna Pak řešení úlohy Lineární rovnice (18) je tvaru

kde

tj. je geometrický průměr hodnot posloupnosti na intervalu délky periody a je zbytek po dělení čísla číslem

Důsledek 2.11.Posloupnost daná rekurentní formulí v úloze Lineární rovnice (18) s periodickou posloupností je ohraničená právě tehdy, když právě tehdy, když