Homogenní rovnice a exponenciální posloupnost

Známe-li hodnotu  můžeme z rekurentní formule Lineární rovnice (8) vždy vypočítat Naopak, známe-li a přitom je můžeme z Lineární rovnice (8) vypočítat Hodnoty řešení rovnice Lineární rovnice (8), a ekvivalentně rovnice Lineární rovnice (6), můžeme počítat „dozadu“ pouze tehdy, pokud Toto pozorování inspiruje zavedení následujícího pojmu.

Definice 2.1. Řekneme, že posloupnost je regresivní, pokud pro všechny indexy Množinu regresivních posloupností označíme

Podobně jako v případě obecných posloupností můžeme zdůraznit definiční obor posloupnosti dolním indexem, tj.

Na množině regresivních posloupností definujeme binární operaci a unární operaci vztahy

Snadno ověříme, že množina regresivních posloupností s operací tvoří komutativní grupu, nulová posloupnost je neutrálním prvkem této grupy a je opačným prvkem k prvku

Tvrzení 2.2. Nechť je regresivní posloupnost. Pak pro každou hodnotu existuje jediná posloupnost taková, že a

Důkaz.  Poněvadž je posloupnost definována pro každé Dále pro každý index takový, že platí a tedy

což znamená, že posloupnost je definována také pro takové, že

Definice 2.3. Nechť je regresivní posloupnost. Exponenciální posloupnost příslušnou k posloupnosti s počátkem  definujeme jako jediné řešení diferenční rovnice

(9)

s počáteční podmínkou Její -tý člen značíme

Věta 2.4. Vlastnosti exponenciální posloupnosti

Nechť takové, že Pak platí

1. 
   
2. 
   
3. 
   
4. 
   
5. 
   
6. Je-li pro všechny indexy pak

Důkaz. Podle tvrzení Přípravné úvahy 2.24 platí a

Odtud plyne platnost první části věty. Nyní

což je druhé tvrzení věty. Třetí a čtvrté plyne z následujících výpočtů

Podle tvrzení Přípravné úvahy 2.24 platí

a to je páté tvrzení věty. Rovnost v posledním tvrzení je ekvivalentní s rovnostmi

Nechť je regresivní posloupnost. Řešení počáteční úlohy pro homogenní lineární rovnici

je dáno rovností

(10)

neboť

a podle vět Přípravné úvahy 3.4 a Lineární rovnice 2.4 platí