Homogenní systém a fundamentální matice

Uvažujme homogenní systém

(58)

Posloupnost nulových vektorů je řešením této rovnice, neboť

Dále platí princip superpozice: lineární kombinace řešení rovnice Lineární rovnice (58) je také jejím řešením. Pro libovolná dvě řešení systému Lineární rovnice (58) a libovolné konstanty totiž platí

Množina všech řešení rovnice Lineární rovnice (58) tedy tvoří vektorový prostor. Určíme jeho dimenzi v případě, že matice je regulární pro každý index z definičního oboru, tj. v případě, že každá počáteční úloha pro rovnici Lineární rovnice (58) je jednoznačně řešitelná.

V -rozměrném vektorovém prostoru existuje jeho báze tvořená lineárně nezávislými vektory. Označme řešení rovnice Lineární rovnice (58) s počáteční podmínkou Pak jsou posloupnosti lineárně nezávislé, neboť vektory jsou lineárně nezávislé. To znamená, že dimenze prostoru řešení rovnice Lineární rovnice (58) je alespoň

Je-li libovolné řešení rovnice Lineární rovnice (58), pak vektor lze vyjádřit jako lineární kombinaci bázových vektorů, tj. existují konstanty takové, že

Z principu superpozice plyne, že také vektorová posloupnost

je řešením rovnice Lineární rovnice (58), které splňuje stejnou počáteční podmínku, jako řešení Z jednoznačnosti řešení nyní plyne, že a tedy že řešení je lineární kombinací posloupností To znamená, že tyto posloupnosti tvoří bázi prostoru řešení rovnice Lineární rovnice (58).

Dostáváme tak závěr:

Věta 4.3. Nechť matice je regulární pro každý index z definičního oboru. Pak množina všech řešení lineárního homogenního -rozměrného systému Lineární rovnice (58) tvoří vektorový prostor dimenze

Definice 4.4.  Báze prostoru řešení lineárního homogenního systému Lineární rovnice (58) se nazývá fundamentální systém řešení.

Bázi vektorového prostoru můžeme vybrat tak, že -tý vektor má všechny složky nulové s výjimkou -té; vektory tvoří „standardní nula-jedničkovou bázi“.

Vektorové posloupnosti tvořící fundamentální systém řešení můžeme uspořádat do maticové posloupnosti

sloupce matice jsou vektory Poněvadž každá z těchto posloupností splňuje počáteční úlohu

splňuje maticová posloupnost relace

(59)

Definice 4.5. Řešení počáteční úlohy Lineární rovnice (59) se nazývá fundamentální matice systému Lineární rovnice (58).

Matice jakožto matice jednotková je regulární. Je-li matice regulární pro každý index pak jsou také matice

regulární, matice

jsou také regulární, atd. To znamená, že fundamentální matice systému Lineární rovnice (58) je regulární v každémindexu Fundamentální matici systému Lineární rovnice (58) můžeme zapsat ve tvaru

Pravou stranu této rovnosti označíme Tímto způsobem také zavádíme konvenci o pořadí násobení matic za symbolem pro součin - s rostoucím indexem násobíme již vytvořený součin matic zleva maticí s indexem

Každé řešení rovnice Lineární rovnice (58) je lineární kombinací posloupností z fundamentálního systému . To znamená, že ke každému řešení rovnice Lineární rovnice (58) existují konstanty že

Platí tedy

Věta 4.6. Nechť matice je regulární pro každý index Každé řešení rovnice Lineární rovnice (58) je tvaru kde je nějaký konstantní vektor a je fundamentální matice systému Lineární rovnice (58), tedy řešení počáteční úlohy Lineární rovnice (59).

Partikulární řešení počáteční úlohy pro rovnici Lineární rovnice (58) je

Příklad 4.7. Uvažujme jednorozměrný lineární systém, tedy skalární rovnici

(60)

Počáteční úloha Lineární rovnice (59) bude v tomto případě také úlohou pro (skalární) posloupnost

neboli

Fundamentální maticí systému Lineární rovnice (60) tedy bude exponenciální posloupnost (viz definici Lineární rovnice 2.3). Podle věty Lineární rovnice 2.4 je

Analogicky jako v případě (skalární) lineární rovnice (sr. definice Lineární rovnice 2.3) můžeme definovat maticovou exponenciální posloupnost:

Definice 4.8.  Nechť maticová posloupnost je regresivní. Maticovou exponenciální posloupnost příslušnou k posloupnosti s počátkem definujeme jako jediné řešení počáteční úlohy pro lineární systém

(61)

Její -tý člen označíme

Poněvadž jsou úlohy Lineární rovnice (61) a Lineární rovnice (59) ekvivalentní. To znamená, že fundamentální matice

a řešení počáteční úlohy pro rovnici Lineární rovnice (58) můžeme také zapsat ve tvaru

Podobně jako v Homogenní rovnice a exponenciální posloupnost zavedeme na množině regresivních maticových posloupností operace  a vztahy

Množina regresivních posloupností s těmito operacemi opět tvoří grupu, která však již není komutativní.

Pro maticovou exponenciální posloupnost platí