Diferenční a sumační počet

Následující tři věty plynou přímo z definic Přípravné úvahy 2.6, Přípravné úvahy 2.10 a Přípravné úvahy 3.3.

Věta 4.1. Nechť je posloupnost a nechť celá čísla splňují podmínky Pak platí

• je rostoucí na intervalu právě tehdy, když pro každý index platí nerovnost tj.

• je ryze rostoucí na intervalu právě tehdy, když

• je klesající na intervalu právě tehdy, když

• je ryze klesající na intervalu právě tehdy, když

• je monotonní na intervalu právě tehdy, když posloupnost na intervalu nemění znaménko, tj.

• je ryze monotonní na intervalu právě tehdy, když mezi indexy není uzel posloupnosti tj.

Věta 4.2. Nechť je posloupnost a Pak platí

• je argumentem ostrého lokálního maxima právě tehdy, když a pokud není počáteční index, pak tj.

• je argumentem lokálního maxima právě tehdy, když

• je argumentem ostrého lokálního minima právě tehdy, když

• je argumentem lokálního minima právě tehdy, když

Věta 4.3. Nechť je posloupnost, index není počáteční a je uzlem posloupnosti Pak index je argumentem lokálního extrému. V případě se jedná se o maximum, v případě se jedná se o minimum. Pokud je přitom pak je tento extrém ostrý.

Věta 4.4. (Rolleova). Nechť je posloupnost a jsou takové indexy, že a Pak existuje index  který je uzlem posloupnosti

Důkaz. Kdyby žádný index z intervalu nebyl uzlem, posloupnost by podle věty Přípravné úvahy 4.1 byla ryze monotonní na intervalu a proto by nemohlo platit

Věta 4.5. (Lagrangeova o střední hodnotě). Nechť je posloupnost a jsou takové indexy, že Pak existuje index takový, že platí aspoň jedna z dvojic nerovností

Důkaz. Položme

Pak což znamená. že posloupnost splňuje předpoklady Rolleovy věty. Existuje tedy takový index, že nebo Položme Pak je a platí

Dále podle věty Přípravné úvahy 3.4 je

pro každý index takže

Pokud pak

Pokud pak v případě je

a v případě je

Věta 4.6. (de l'Hôpitalovo pravidlo, Stolzova-Cesàrova věta). Buďte posloupnosti a nechť je posloupnost od jistého indexu ryze monotonní, tj.

Jestliže a existuje limita pak existuje také limita a platí

(28)

Jestliže pak platí

(29)

Zejména pokud existuje limita pak existuje také limita a opět platí rovnost Přípravné úvahy (28).

Důkaz. Nechť pro určitost pro V případě ryze rostoucí posloupnosti bychom postupovali analogicky.

Nechť Poněvadž posloupnost je klesající, musí být podle věty Přípravné úvahy 2.12 a tedy od jistého indexu jsou všechny členy posloupnosti záporné

Nechť Pak pro libovolné existuje index takový, že

pro všechny indexy Pro tedy platí

Vezmeme libovolné indexy a sečteme předchozí rovnosti od do  Podle Přípravné úvahy (24) dostaneme

Tyto nerovnosti upravíme na tvar

Limitním přechodem nyní dostaneme nerovnosti

Poněvadž kladné číslo bylo libovolné, platí

což znamená, že ve všech nerovnostech nastane rovnost a tedy

Pokud pak pro libovolné existuje index takový, že

pro všechny indexy Nyní můžeme zopakovat předchozí úvahy s tím, že budeme používat pouze „pravou část“ nerovností, v nichž místo budeme psát Dostaneme

což vzhledem k tomu, že číslo bylo libovolné, znamená, že

Pokud provedeme důkaz analogicky.

Nechť nyní Poněvadž pro platí podle věty Přípravné úvahy 4.1 je posloupnost na intervalu klesající a poněvadž platí pro každý index

Prostřední nerovnost v Přípravné úvahy (29) je triviální. Pokud je triviální i první nerovnost. Nechť tedy

tj. existuje index takový, že pro libovolné kladné číslo  a pro všechny indexy platí

Pro všechny indexy tedy máme nerovnost

Nechť jsou libovolné indexy takové, že Sečtením předchozích nerovností od do dostaneme podle Přípravné úvahy (24) nerovnost

ze které limitním přechodem plyne

Poněvadž index byl libovolný, pro každý index index platí

což znamená, že Poněvadž kladné číslo bylo libovolné, platí první nerovnost v Přípravné úvahy (29).

Poslední nerovnost v Přípravné úvahy (29) dokážeme analogicky.

Poznámka 4.7. Předpoklad o ryzí monotonnosti posloupnosti je podstatný. Uvažujme například posloupnosti definované na vztahy

Pak je a

takže

avšak

což znamená, že

a limita podílu posloupností neexistuje.

Pro případ limity typu uvažujme posloupnosti definované na vztahy

Pak

avšak limita posloupnosti neexistuje.

Věta 4.8. (O střední hodnotě sumačního počtu). Buďte posloupnosti a nechť existují celá čísla taková, že a pro každý index je Pak ke každé dvojici indexů existuje číslo takové, že

Důkaz. Označme

Je-li pak

je-li pak

je-li pak

Odtud plyne, že v každém případě, kdy je také a za číslo lze vzít libovolné číslo z intervalu

Je-li pak v případě je

a v případě je také

Stačí tedy položit