![Logo Matematická biologie](images/logo-matbiol.png)
Diferenční a sumační počet
Následující tři věty plynou přímo z definic Přípravné úvahy 2.6, Přípravné úvahy 2.10 a Přípravné úvahy 3.3.
Věta 4.1. Nechť je posloupnost a nechť celá čísla
splňují podmínky
Pak platí
je rostoucí na intervalu
právě tehdy, když pro každý index
platí nerovnost
tj.
je ryze rostoucí na intervalu
právě tehdy, když
je klesající na intervalu
právě tehdy, když
je ryze klesající na intervalu
právě tehdy, když
je monotonní na intervalu
právě tehdy, když posloupnost
na intervalu
nemění znaménko, tj.
je ryze monotonní na intervalu
právě tehdy, když mezi indexy
není uzel posloupnosti
tj.
Věta 4.2. Nechť je posloupnost a
Pak platí
je argumentem ostrého lokálního maxima právě tehdy, když
a pokud
není počáteční index, pak
tj.
je argumentem lokálního maxima právě tehdy, když
je argumentem ostrého lokálního minima právě tehdy, když
je argumentem lokálního minima právě tehdy, když
Věta 4.3. Nechť je posloupnost, index
není počáteční a
je uzlem posloupnosti
Pak index
je argumentem lokálního extrému. V případě
se jedná se o maximum, v případě
se jedná se o minimum. Pokud je přitom
pak je tento extrém ostrý.
Věta 4.4. (Rolleova). Nechť je posloupnost a
jsou takové indexy, že
a
Pak existuje index
který je uzlem posloupnosti
Důkaz. Kdyby žádný index z intervalu nebyl uzlem, posloupnost
by podle věty Přípravné úvahy 4.1 byla ryze monotonní na intervalu
a proto by nemohlo platit
Věta 4.5. (Lagrangeova o střední hodnotě). Nechť je posloupnost a
jsou takové indexy, že
Pak existuje index
takový, že platí aspoň jedna z dvojic nerovností
Důkaz. Položme
Pak což znamená. že posloupnost
splňuje předpoklady Rolleovy věty. Existuje tedy
takový index, že
nebo
Položme
Pak je
a platí
Dále podle věty Přípravné úvahy 3.4 je
pro každý index takže
Pokud pak
Pokud pak v případě
je
a v případě
je
Věta 4.6. (de l'Hôpitalovo pravidlo, Stolzova-Cesàrova věta). Buďte posloupnosti a nechť je posloupnost
od jistého indexu ryze monotonní, tj.
Jestliže a existuje limita
pak existuje také limita
a platí
|
(28) |
Jestliže pak platí
|
(29) |
Zejména pokud existuje limita pak existuje také limita
a opět platí rovnost Přípravné úvahy (28).
Důkaz. Nechť pro určitost pro
V případě ryze rostoucí posloupnosti
bychom postupovali analogicky.
Nechť Poněvadž posloupnost
je klesající, musí být
podle věty Přípravné úvahy 2.12 a tedy od jistého indexu
jsou všechny členy posloupnosti
záporné
Nechť Pak pro libovolné
existuje index
takový, že
pro všechny indexy Pro
tedy platí
Vezmeme libovolné indexy a sečteme předchozí rovnosti od
do
Podle Přípravné úvahy (24) dostaneme
Tyto nerovnosti upravíme na tvar
Limitním přechodem nyní dostaneme nerovnosti
Poněvadž kladné číslo bylo libovolné, platí
což znamená, že ve všech nerovnostech nastane rovnost a tedy
Pokud pak pro libovolné
existuje index
takový, že
pro všechny indexy Nyní můžeme zopakovat předchozí úvahy s tím, že budeme používat pouze „pravou část“ nerovností, v nichž místo
budeme psát
Dostaneme
což vzhledem k tomu, že číslo bylo libovolné, znamená, že
Pokud provedeme důkaz analogicky.
Nechť nyní Poněvadž pro
platí
podle věty Přípravné úvahy 4.1 je posloupnost
na intervalu
klesající a poněvadž
platí
pro každý index
Prostřední nerovnost v Přípravné úvahy (29) je triviální. Pokud je triviální i první nerovnost. Nechť tedy
tj. existuje index takový, že pro libovolné kladné číslo
a pro všechny indexy
platí
Pro všechny indexy tedy máme nerovnost
Nechť
jsou libovolné indexy takové, že
Sečtením předchozích nerovností od
do
dostaneme podle Přípravné úvahy (24) nerovnost
ze které limitním přechodem plyne
Poněvadž index byl libovolný, pro každý index index
platí
což znamená, že Poněvadž kladné číslo
bylo libovolné, platí první nerovnost v Přípravné úvahy (29).
Poslední nerovnost v Přípravné úvahy (29) dokážeme analogicky.
Poznámka 4.7. Předpoklad o ryzí monotonnosti posloupnosti je podstatný. Uvažujme například posloupnosti
definované na
vztahy
Pak je a
|
takže
avšak
což znamená, že
a limita podílu posloupností
neexistuje.
Pro případ limity typu uvažujme posloupnosti
definované na
vztahy
Pak
avšak limita posloupnosti neexistuje.
Věta 4.8. (O střední hodnotě sumačního počtu). Buďte
posloupnosti a nechť existují celá čísla
taková, že
a pro každý index
je
Pak ke každé dvojici indexů
existuje číslo
takové, že
|
|
Důkaz. Označme
Je-li pak
je-li pak
je-li pak
Odtud plyne, že v každém případě, kdy je také
a za číslo
lze vzít libovolné číslo z intervalu
Je-li pak v případě
je
a v případě je také
Stačí tedy položit