Homogenní rovnice

Homogenní diferenční rovnice prvního řádu je rovnice tvaru

(14)

kde je funkce, která není konstantní ve druhé proměnné. Povšimněme si, že lineární homogenní rovnici můžeme přepsat jako

takže je skutečně speciálním případem rovnice Některé explicitně řešitelné rovnice (14); slovo „homogenní“ je použito oprávněně.

Substituce

(15)

převede rovnici Některé explicitně řešitelné rovnice (14) na rovnici

ze které vyjádříme a řešení dané rovnice Některé explicitně řešitelné rovnice (14) hledáme jako řešení lineární homogenní rovnice

Pokud hledáme kladná řešení rovnice Některé explicitně řešitelné rovnice (14), můžeme použít substituce

která převádí danou rovnici na implicitní diferenční rovnici

Homogenní diferenční rovnice -tého řádu je rovnice tvaru

kde je funkce, která není konstantní ve druhé a poslední proměnné. Tuto rovnici převede substituce Některé explicitně řešitelné rovnice (15) na diferenční rovnici -ního řádu druhého typu

Příklad 3.1. Najdeme řešení homogenní rovnice druhého řádu

Rovnici vynásobíme jmenovatelem zlomku na pravé straně a vydělíme výrazem Dostaneme

Substituce Některé explicitně řešitelné rovnice (15) převede tuto rovnici na tvar

který je ekvivalentní s neboli

To je Riccatiho rovnice. Proto zavedeme novou posloupnost substitucí

Po dosazení a úpravě dostaneme

což je lineární homogenní rovnice druhého řádu.