Cykly a atraktory

Definice 2.14.
Nechť

Řekneme, že je -periodický bod rovnice Autonomní rovnice (6), pokud

Trajektorie -periodického bodu se nazývá cyklus délky (-cyklus).

Řekneme, že -periodický bod je dosažitelný z bodu pokud existuje takové, že je -periodický bod.

Pokud bod je -periodickým bodem rovnice Autonomní rovnice (6), pak je také -periodickým bodem této rovnice pro libovolné kladné celé číslo

Bod   je -periodickým bodem rovnice Autonomní rovnice (6) právě tehdy, když je rovnovážným bodem rovnice

(12)

Definice 2.15. Řekneme, že -cyklus rovnice Autonomní rovnice (6) je stabilní, asymptoticky stabilní, nestabilní, atrahující (přitažlivý), globálně atrahující,repelentní (odpuzující), pokud tuto vlastnost má rovnovážný bod rovnice Autonomní rovnice (12).

Věta 2.16. Nechť je -cyklus rovnice Autonomní rovnice (6).

Je-li pak je asymptoticky stabilní.

Je-li pak je nestabilní.

Důkaz. Podle věty o derivaci složené funkce platí

Tvrzení jsou nyní důsledkem věty Autonomní rovnice 2.12.

Je-li globálně atrahující rovnovážný bod rovnice Autonomní rovnice (6), pak pro každé řešení této rovnice platí

tj. každé řešení „skončí v bodě “. Je-li trajektorie globálně atrahující -cyklus rovnice Autonomní rovnice (6), pak pro každé řešení této rovnice platí

tj. každé každé řešení „skončí v množině “.

Množina, „ve které končí každé řešení rovnice Autonomní rovnice (6)“ se nazývá atraktor této rovnice. Přesně bude tento pojem zaveden v Invariantní množiny autonomních systémů.