kde funkce není konstantní v první proměnné. Množina se opět nazývá stavový prostor. Rovnice Autonomní rovnice (24) můžeme přepsat ve tvaru systému rekurentních formulí prvního řádu

(25)

tedy ve tvaru autonomního systému. První složka řešení tohoto systému je řešením rovnice Autonomní rovnice (24). Na autonomní rovnici -tého řádu tedy můžeme přenést všechny pojmy a výsledky z teorie autonomních systémů.

Počáteční podmínku pro rovnici Autonomní rovnice (24) můžeme bez újmy na obecnosti uvažovat ve tvaru

(26)

Bod je rovnovážným bodem rovnice Autonomní rovnice (24), pokud

Řekneme, že rovnovážný bod rovnice Autonomní rovnice (24) je stabilní, pokud je stabilní rovnovážný bod autonomního systému Autonomní rovnice (25). Analogicky převádíme ostatní vlastnosti rovnovážných bodů autonomního systému zavedené v definici Autonomní rovnice 3.4 na rovnovážné body autonomních rovnic.

Je-li funkce dvakrát diferencovatelná, pak pro „malou“ odchylku od rovnovážného bodu

podle Taylorovy věty platí

Označme

„Malá“ odchylka se tedy přibližně vyvíjí jako řešení lineární homogenní rovnice -tého řádu

Podle důsledku Lineární rovnice 3.8 věty Lineární rovnice 3.5 platí

Věta 4.1. Nechť je rovnovážný bod rovnice Autonomní rovnice (24).
Mají-li všechny kořeny polynomu

(27)

modul menší než , pak je rovnovážný bod rovnice Autonomní rovnice (24) asymptoticky stabilní.

Existuje-li kořen polynomu Autonomní rovnice (27), který má modul větší než pak je rovnovážný bod rovnice Autonomní rovnice (24) nestabilní.

Příklad 4.2. Bevertonova-Holtova rovnice se zpožděním.

Připomeňme, že rovnice Přípravné úvahy (16) modeluje vývoj velikosti populace v prostředí s omezenými zdroji. Výraz

který je menší než 1, vyjadřuje zmenšení (malthusovského) koeficientu růstu působením populace velikosti v omezeném prostředí. Tato vnitrodruhová konkurence se nemusí projevit hned v následující generaci, může působit až na generaci další. Např. populace produkuje odpady, jejichž toxicita oslabuje potomky tak, že jim sníží plodnost. V další generaci se tak rodí méně potomků. Tento jev můžeme do modelu zahrnout tak, že ve jmenovateli zlomku nebudeme psát ale Dostaneme tak autonomní rovnici druhého řádu ve tvaru

(28)

nebo ve tvaru jako Autonomní rovnice (24)

Je tedy

Algebraická rovnice má dva kořeny 0 a tedy diferenční rovnice Autonomní rovnice (28) má dva rovnovážné body. Funkce je dvakrát diferencovatelná a platí

takže

Pro rovnovážný bod 0 má polynom Autonomní rovnice (27) tvar a tedy kořeny 0 a Je-li je rovnovážný bod 0 stabilní, je-li je rovnovážný bod 0 nestabilní.

Pro rovnovážný bod má polynom Autonomní rovnice (27) tvar

a tedy kořeny

Je-li pak

a to znamená, že rovnovážný bod je nestabilní.

Je-li pak kořeny

jsou reálné kladné a menší než 1. Je-li pak jsou kořeny komplexně sdružené a pro jejich modul platí

To znamená, že pro je rovnovážný bod stabilní.

Dostáváme tak téměř stejný výsledek jako v případě Bevertonovy-Holtovy rovnice bez zpoždění, viz příklad v Rovnovážné body a jejich stabilita. Řešení rovnice bez zpoždění však pro konverguje k hodnotě monotonně a stejně se chová řešení rovnice Autonomní rovnice (28) pro Ovšem pro řešení rovnice Autonomní rovnice (28) se zpožděním konverguje k hodnotě s tlumenými oscilacemi.

vytvořil Institut biostatistiky a analýz Lékařské fakulty Masarykovy univerzity