Invariantní množiny autonomních systémů

Rovnovážný bod systému Autonomní rovnice (17) je charakteristický tím, že jeho trajektorie je jednoprvková a obsahuje právě tento bod, Této vlastnosti využijeme k zavedení obecnějších pojmů.

Definice 3.8. Množina se nazývá invariantní množina rovnice Autonomní rovnice (17), pokud

Množina se nazývá minimální invariantní množina rovnice Autonomní rovnice (17), pokud pro každou vlastní podmnožinu  invariantní množiny platí, že není invariantní.

Množina je minimální invariantní množinou rovnice Autonomní rovnice (17) právě tehdy, když ke každé množině takové, že a a ke každému bodu existuje přirozené číslo že To je dále ekvivalentní s tím, že

Definice 3.9. (Typy invariantních množin). Minimální invariantní množina rovnice Autonomní rovnice (17) se nazývá:

• rovnovážný (stacionární) bod, pokud množina je jednoprvková;
• cyklus délky (-cyklus), pokud množina je -prvková (přitom je kladné celé číslo);
• invariantní smyčka, pokud množina je uzavřená spojitá křivka v
• podivná, pokud není žádného z předchozích typů.

Poznamenejme, že okolím množiny ve stavovém prostoru rozumíme množinu která je otevřená v relativní topologii prostoru a pro kterou platí

Definice 3.10. Minimální invariantní množina rovnice Autonomní rovnice (17) se nazývá:

• stabilní, pokud ke každému okolí množiny existuje okolí množiny tak, že
• atraktor, pokud existuje množina taková, že pro každý bod platí

množina se v takovém případě nazývá obor atraktoru ; pokud vlastnost množiny má celý stavový prostor , atraktor se nazývá globální;

• repelor, pokud existuje a okolí množiny takové, že pro každý bod platí