Linearizace nelineárních systémů v okolí rovnovážného bodu

Nechť je rovnovážný bod rovnice Autonomní rovnice (17). Jeho stabilitu budeme vyšetřovat pomocí vývoje odchylky nějakého řešení od řešení rovnovážného. Podle Taylorovy věty pro libovolné platí

Při označení

přepíšeme předchozí rovnosti ve tvaru

Z tohoto vyjádření usuzujeme podobně jako v Rovnovážné body a jejich stabilita, že odchylka od rovnovážného stavu se „přibližně vyvíjí“ jako řešení lineárního homogenního systému

(22)

Tento systém nazveme linearizace nelineárního systému Autonomní rovnice (17) v okolí jeho rovnovážného bodu   Matici což je Jacobiho matice zobrazení vypočítaná v rovnovážném bodě, nazýváme variační matice systému Autonomní rovnice (17) v jeho rovnovážném bodu

Definice 3.5. Řekneme, že rovnovážný bod systému Autonomní rovnice (17) je hyperbolický, pokud žádná vlastní hodnota matice nemá modul rovný 1.

Z Stabilita lineárních systémů plyne

Tvrzení 3.6. Nechť je hyperbolický rovnovážný bod autonomního systému Autonomní rovnice (17). Mají-li všechny vlastní hodnoty jeho variační matice modul menší než 1, pak je rovnovážný bod asymptoticky stabilní. Existuje-li vlastní číslo variační matice které má modul větší než 1, pak je rovnovážný bod nestabilní.

Příklad 3.7.  Dvojrozměrný autonomní systém
Uvažujme obecný systém ve tvaru

(23)

Souřadnice rovnovážného bodu jsou řešením soustavy dvou rovnic

Nechť je rovnovážným bodem rovnice Autonomní rovnice (23) a

Ze závěru příkladu v Ekvivalence lineární rovnice k-tého řádu a systému lineárních rovnic prvního řádu můžeme nyní usoudit, že platí tvrzení:

1. Je-li pak rovnovážný bod systému Autonomní rovnice (23) je asymptoticky stabilní.
2. Je-li nebo pak rovnovážný bod systému Autonomní rovnice (23) je nestabilní.
3. Je-li asymptoticky stabilní, a pak obě složky řešení systému Autonomní rovnice (23) konvergujícího k rovnovážnému bodu jsou od jistého indexu počínaje ryze monotonní.