Model prvního řádu

Uvažme nejprve možnost, že majitel plánuje odstřel srnců na každou sezónu jinak; může se rozhodovat podle počtu lovuchtivých přátel, podle aktuální ceny srnčího masa a podobně. Tuto skutečnost můžeme vyjádřit tak, že úmrtnost populace může být v každé sezóně jiná, její hodnota závisí na čase, Růstový koeficient (kde označuje porodnost) tedy také závisí na čase, Touto úvahou dostáváme modifikaci modelu Přípravné úvahy (7) růstu populace ve tvaru

(1)

Opět se jedná o rekurentní formuli prvního řádu. Známe-li růstový koeficient v každém čase a počáteční velikost populace můžeme postupně vypočítat velikost populace v libovolném následujícím časovém okamžiku:

atd. Obecně dostaneme velikost populace v čase vyjádřenu vztahem

O vlastnostech posloupnosti dané tímto obecným předpisem však nemůžeme bezprostředně mnoho říci.

Regulaci populace (střílení srnců) si můžeme představit i jinak. Majitel lesa má nějakou kýženou velikost populace a „přespočetné“ srnce vystřílí, tj. v čase (v -té sezóně) zlikviduje populaci o velikosti Pokud odstřel provádí na závěr sezóny a počet ulovených zvířat stanoví na základě velikosti populace zjištěné na začátku sezóny, bude velikost populace vnásledující sezóně dána rovností

nebo po snadné úpravě

(2)

Znovu se jedná o rekurentní formuli prvního řádu. Ze znalosti počáteční velikosti populace můžeme nyní postupně vypočítat

atd. Obecně dostaneme

Na pravé straně této rovnosti se objevuje součet prvních členů geometrické posloupnosti s prvním členem 1 a kvocientem Pokud tedy platí

a řešení diferenční rovnice Lineární rovnice (2) s počáteční podmínkou

pokud platí

a řešení diferenční rovnice Lineární rovnice (2) s počáteční podmínkou je rovno

Vidíme tedy, že v případě je posloupnost ryze rostoucí a neohraničená, v případě je posloupnost monotonní a platí

Metoda „odstřelu přespočetných srnců“ tedy nevede k žádoucímu cíli; buď není schopna populaci zregulovat (při velkém růstovém koeficientu) nebo ji zreguluje na hodnotu větší, než byla hodnota stanovená. Ovšem v případě růstového koeficientu lze metodu snadno modifikovat; za velikost „populace k odstřelu“ v -té sezóně lze stanovit hodnotu a celková velikost populace se při této volbě bude vyvíjet k potřebné hodnotě ; vývoj velikosti populace je popsán rovnicí

Majitel lesa (honitby) může stanovit přesný počet ulovených srnců. Ve skutečnosti se ne každý střelec vždycky trefí nebo naopak v lovecké euforii postřílí srnců více, než měl přiděleno. V každé sezóně tedy bude odstřelen jiný počet srnců. Člen na pravé straně předchozí rovnice tedy nahradíme nějakým výrazem závislým na čase, řekněme Navíc v každé sezóně jinak prší a svítí slunce, takže je jiné množství potravy pro srnce, v různých sezónách mají srnci různou kondici. To znamená, že i růstový koeficient je v každé sezóně jiný, závisí na čase, Tato úvaha vede k tomu, že předchozí rovnici nahradíme poněkud obecnější rovnicí

(3)

Předchozí modely Lineární rovnice (1) a Lineární rovnice (2) lze považovat za speciální případy modelu Lineární rovnice (3).

V diferenční rovnici (rekurentní formuli) Lineární rovnice (3) je podstatné, že na pravé straně jsou hodnoty hledané posloupnosti v první mocnině, tj. funkce na pravé straně rovnice Lineární rovnice (3) je lineární funkcí proměnné Z tohoto důvodu se diferenční rovnice tvaru Lineární rovnice (3) nebo tvaru s ním ekvivalentního nazývá lineární.