Lineární rovnice

V této rozsáhlejší kapitole se budete věnovat velice důležité třídě diferenčních rovnic, a to rovnicím lineárním. Při jejím studování:

1. Uvidíte, že lineární rovnice (mimo jiné) popisují řízení (regulaci) reálných procesů.
    
2. Ujasníte si vše potřebné o lineární rovnici prvního řádu a tyto informace si zařadíte do širšího kontextu.
   1. Vyřešíte jednoduchou lineární rovnici; přitom si vzpomenete, že se jedná o problematiku důvěrně známou ze střední školy - o geometrickou posloupnost.
   2. Ponoříte se do obecné teorie lineárních rovnic s nekonstantními koeficienty. Při tom se setkáte s exponenciálními posloupnostmi, které mají ve srovnání s exponenciální funkcí některé překvapivé vlastnosti.
   3. Odvodíte si užitečné formulky pro řešení lineární rovnice.
   4. Uvidíte, jak konstantní nebo periodické koeficienty určují kvalitativní vlastnosti řešení lineární rovnice.
3. Seznámíte se s lineárními rovnicemi vyššího řádu.
   1. Poznáte jejich užitečné třídění na rovnice homogenní a nehomogenní.
   2. Nahlédnete do struktury množiny řešení homogenních lineárních rovnic, tj. uvidíte, že tyto rovnice splňují princip superpozice, nebo jinak řečeno, že všechna řešení tvoří konečnědimenzionální vektorový prostor.
   3. Naučíte se hledat řešení nehomogenní rovnice metodou variace konstant. Uvidíte, že její odvození je poněkud komplikované a neintuitivní, dává ovšem obecně použitelný a snadno algoritmizovatelný výsledek.
   4. Provedete podrobnou diskusi řešení homogenní rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Přitom si ujasníte, jak koeficienty určují kvalitativní vlastnosti řešení.
   5. Naučíte se řešit homogenní rovnice vyššího řádu čistě algebraickou procedurou - přiřazením charakteristického polynomu dané rovnici a nalezením jeho kořenů.
   6. Dozvíte se, jaký tvar má řešení nehomogenní rovnice, pokud nehomogenita je specielního typu. Přitom se budete moci potěšit pěkným kouskem abstraktní matematiky - anihilátory posloupnosti.
4. Seznámíte se se systémy lineárních diferenčních rovnic,
   1. Poznáte, že třídění systémů na homogenní a nehomogenní je pouze záležitost úhlu pohledu - přidání nehomogenity je totéž, co zvětšení dimenze systému.
   2. Nahlédnete do struktury řešení homogenních systémů, tj. opět uvidíte, že všechna tvoří konečnědimenzionální vektorový prostor.
   3. Naučíte se vyjádřit bázi prostoru řešení soustavy lineárních diferenčních rovnic pomocí fundamentální matice.
   4. Uvidíte, že metoda variace konstant pro nehomogenní systémy lineárních rovnic, tj. způsob vyjádření řešení nehomogenního systému pomocí fundamentální matice systému homogenního, je - na rozdíl od metody variace konstant pro rovnice vyššího řádu - elegantní a snadno odvoditelná.
   5. Pokud si připomenete klasické téma lineární algebry - Jordanův kanonický tvar matice - budete umět algebraickým postupem najít fundamentální matici lineárního homogenního systému s konstantními koeficienty.
   6. Povšimnete si ekvivalence systémů lineárních diferenčních rovnic a lineárních diferenčních rovnic vyššího řádu.
   7. Získáte užitečné nerovnosti, které umožňují určit kvalitativní (limitní) vlastnosti řešení dvojrozměrného lineárního homogenního systému.
5. nebo, což je totéž, s vektorovými lineárními rovnicemi.
    
6. Procvičíte si dovednost řešit lineární rovnice.
   1.  U rovnic prvního řádu půjde nejen o dosazení do dříve odvozených vzorců, ale i o jednoduché standardní aplikace.
   2. U rovnic vyššího řádu a systémů se navíc pocvičíte ve schopnosti soustředit se a v trpělivosti.

Část 2.b. není pro pochopení dalšího obsahu podstatná. Představuje však pěknou matematiku, která může být užitečná pro pochopení souvislostí s jinými oblastmi deterministického modelování nebo s problematikou numerického řešení diferenciálních rovnic.