3.1 Zavedení Laplacovy transformace

Laplacova¹ transformace je užitečný matematický nástroj pro transformaci spojitých funkcí času do komplexní roviny. Navzdory skutečnosti, že (jak níže uvidíme) má mnoho společného s již dříve zmíněnou Fourierovou transformací, nepoužíváme ji, tak jak Fourierovu transformaci, k rozkladu spojitých funkcí na jednodušší funkce (i když i takový výklad by byl principiálně možný), nýbrž především pro popis lineárních časově invariantních soustav a pro řešení diferenciálních rovnic, které takovéto soustavy popisují. Z toho důvodu se lze s Laplacovou transformací a jejím použitím pro řešení diferenciálních rovnic setkat i v tomto textu Laplaceova transformace. Zde si zavedeme Laplacovu transformaci jen v rozsahu nezbytném pro další způsoby popisu lineárních soustav.

Definice 3.1. Laplacova transformace  funkce je definována vztahem

(14)

kde je komplexní číslo Přitom se předpokládá, že pro funkci platí

(15)

a že a lze volit tak, že pro  integrál Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase I (14) konverguje.

Pokud rozepíšeme jádro transformace podle reálné a imaginární složky na tj.

(16)

a můžeme získaný tvar Laplacovy transformace srovnat s definičním vztahem Fourierovy transformace Rozklad spojitých neperiodických funkcí na dílčí harmonické složky – Fourierova transformace

která reprezentovala rozklad funkce na harmonické složky charakterizované transformačním jádrem

V souladu s tímto použitím Fourierovy transformace můžeme vyložit význam Laplacovy transformace kromě jiného i jako nástroje na rozklad funkce na elementární funkce popsané funkcemi typu Jaký průběh tyto funkce mají? Jak je výše uvedeno, exponenciální funkci transformačního jádra můžeme rozepsat na součin v němž první činitel představuje reálnou, pro exponenciálně klesající a pro exponenciálně rostoucí funkci. Druhý činitel v uvedeném součinu je komplexní exponenciální funkce, která popisuje harmonický průběh, jak jsme již dříve seznali v kapitole pojednávající o popisu harmonické funkce Harmonická funkce. Součin obou dílčích členů tedy reprezentuje exponenciálně tlumené, či zesilované harmonické oscilace, přičemž rychlost poklesu, či nárůstu je dána parametrem který nazýváme koeficientem tlumení, resp. zesílení. V případě, že pak součin samozřejmě reprezentuje netlumený harmonický průběh.

Takových funkcí je ale neprakticky mnoho, proto tato myšlenka, na rozdíl od Fourierovy transformace nenalezla pro rozklad spojitých funkcí praktické uplatnění.

Proto se dále věnujme prvotnímu účelu, pro který byla Laplacova transformace určena, tj. popis lineárních systémů a řešení diferenciálních rovnic. Protože význam pro praktickou analýzu mají výhradně kauzální systémy, používá se pro tento účel jednostranná varianta

(17)

původní dvoustranné Laplacovy transformace, určená za podobných podmínek jako dvoustranná transformace – tedy, že je absolutně integrovatelná v každém konečném intervalu a že lze zvolit tak, aby integrál Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase I (17) pro konvergoval.

Příklad 3.2. Určete Laplacovu transformaci jednotkové skokové funkce

Řešení.

Pokud si vzpomeneme na příklad, kdy se počítala Fourierova transformace Heavisidovy jednotkové skokové funkce Modely veličin spojitých v čase III 2.1, výsledek byl Určitě lze ve výsledných obrazových funkcích obou příkladů nalézt analogie.

Jak vyplývá z právě řešeného příkladu, lze jednostrannou Laplacovu transformaci vnímat jako dvoustrannou transformaci funkce vynásobené jednotkovou skokovou funkcí.

Příklad 3.3. Určete Laplacovu transformaci jednotkového impulzu

Řešení. S využitím vztahu vyjadřujícím vzorkovací vlastnost jednotkového impulzu Modely veličin spojitých v čase I (23) je

 

Příklad 3.4. Určete jednostrannou Laplacovu transformaci funkce

Řešení.

Můžeme tedy psát, že jednostranná Laplacova transformace funkce je

Tento laplacovský pár si dobře zapamatujme, v praktických aplikacích je dost užitečný.

Příklad 3.5. Určete jednostrannou Laplacovu transformaci funkce

Řešení. Integrací per partes dostáváme

¹ Pierre Simon de Laplace (*1749 Beaumont-en-Auge, Normandie, Francie; + 1827 Paříž, Francie) – francouzský matematik (kromě zavedení uvedené transformace jako nástroje pro řešení diferenciálních rovnic, dokázal teoreticky metodu nejmenších čtverců, původně empiricky zavedenou Carlem Gaussem), statistik, astronom (např. velice blízko se dostal ke konceptu černých děr), politik (byl ministrem vnitra za Napoleona Bonaparta).