4.4 Impulzní charakteristika

Obrazová přenosová funkce systému je podle vztahu Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase I (33) definována za předpokladu nulových počátečních podmínek jako poměr obrazů výstupní a vstupní veličiny

Z toho plyne, že obraz výstupního signálu můžeme spočítat, známe-li přenosovou funkci a obraz vstupního signálu, jako jejich součin, tj.

(39)

Dále, ve výukové jednotce Modely veličin spojitých v čase II části 1 Konvoluce jsme zavedli pojem konvoluce, který vyjadřoval vztah mezi dvěma funkcemi téhož argumentu. Podle definičního vztahu konvoluce platí pro funkce a že

přičemž bylo dále uvedeno, že v Laplacově i Fourierově doméně platí

resp.

Tedy, Laplacův, resp. Fourierův obraz konvoluce je roven součinu obrazů obou funkcí, které do konvoluce vstupují.

Jestliže vztah Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase I (39) říká, že obraz výstupní veličiny systému je dán součinem přenosové funkce systému s obrazem vstupníveličiny, pak musí platit, že časový průběh výstupní veličiny můžeme určit pomocí konvoluce vstupní funkce s nějakou časovou funkcí, která by dokázala charakterizovat vlastnosti systému. Otázkou je, jaká je to časová funkce?

Předpokládejme, že obrazem vstupní funkce je V tom případě je

(40)

Z toho dále vyplývá, že se přenosová funkce rovná obrazu výstupní funkce systému vybuzeného funkcí s jednotkovým Laplacovým obrazem (případně ekvivalentně Fourierovým obrazem). Takovou funkcí je jednotkový Diracův impulz. Tedy obrazová přenosová funkce spojitého systému je rovna Laplacově transformaci odezvy systému na jednotkový impulz,

(41)

případně naopak

(42)

Systém tedy můžeme charakterizovat odezvou na jednotkový impulz, která je určena zpětnou Laplacovou transformací obrazové přenosové funkce (zpětnou Fourierovou transformací frekvenční přenosové funkce). Protože tato funkce charakterizuje vlastnosti systému, nazýváme ji impulzní charakteristikou systému. Na rozdíl ode všech dosud uvedených způsobů popisu lineárního systému je impulzní charakteristika funkcí času.

Z uvedeného také vyplývá, že odezvu systému na buzení libovolnou vstupní veličinou můžeme počítat jako konvoluci časového průběhu funkce reprezentující vstupní veličinu s impulzní charakteristikou systému. Je proto

(43)

Jednotkový impulz má nekonečně široké konstantní spektrum (jak jsme si ukázali dříve -příklad Modely veličin spojitých v čase III 2.3), tedy přivedení této funkce na vstup systému se rovná přivedení úplné směsi harmonických funkcí o frekvencích od 0 do Hz se stejnými amplitudami. Funkci s takovým frekvenčním spektrem ovšem není žádný reálný systém schopen převést bez deformace. Impulzní charakteristiku tedy vnímáme jako systémem zdeformovaný Diracův impulz a podle průběhu či vlastností takto zdeformovaného signálu můžeme usuzovat na vlastnosti systému.

Příklad 4.6. Má-li systém obrazovou přenosovou funkci jakou má impulzní charakteristiku.

Řešení. Časový průběh impulzní charakteristiky je dán zpětnou Laplacovou transformací obrazové přenosové funkce. V tab. Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase I 1 můžeme mezi transformačními páry nalézt i relaci mezi funkcemi Pokud zadanou přenosovou funkci převedeme do tvaru s normovaný jmenovatelem, tj. můžeme podle tab. Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase I 1 snadno pro impulzní charakteristiku psát