Analýza a modelování dynamických biologických datSignály a lineární systémy Komplexní čísla Matematické operace s komplexními čísly

Kapitola počáteční |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Začínáme – několik ilustračních příkladů na úvod | 2 Nejdůležitější pojmy |

2.1 Signál, veličina, funkce, časová řada | 2.2 Systém |

Modely veličin spojitých v čase I |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Základní typy matematických modelů veličin spojitých v čase |

1.1 Periodické funkce |

1.1.1 Harmonická funkce |

1. 2 Neperiodické funkce |

1.2.1 Deterministické jednorázové funkce | 1.2.2 Náhodné funkce |

2 Základní unární operace s funkcemi se spojitým časem |

Modely veličin spojitých v čase II |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Konvoluce | 2 Kauzalita | 3 Korelace |

3.1 Korelační koeficient | 3.2 Korelační funkce |

Modely veličin spojitých v čase III |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Rozklad spojitých periodických funkcí na dílčí harmonické složky |

1.1 Proč? | 1.2 Fourierova řada |

2 Rozklad spojitých neperiodických funkcí na dílčí harmonické složky – Fourierova transformace |

2.1 Definice | 2.2 Vlastnosti Fourierovy transformace | 2.3 Několik řešených příkladů | 2.4 A na konec ještě pár příkladů k procvičení |

Časové řady I |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Vzorkování |

1.1 Seznamme se | 1.2 Vzorkovací teorém |

2 Základní typy matematických modelů veličin diskrétních v čase |

2.1 Konvence na začátek | 2.2 Periodické posloupnosti | 2.3 Jednorázové posloupnosti |

3 Základní operace s matematickými modely veličin diskrétních v čase |

3.1 Úvodní poznámky | 3.2 Diskrétní konvoluce | 3.3 Diskrétní korelační posloupnost |

Časové řady II |

Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase I |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Linearita | 2 Vnější (vstupní/výstupní) popis lineárních systémů |

2.1 Lineární diferenciální rovnice |

3 Laplacova transformace |

3.1 Zavedení Laplacovy transformace | 3.2 Důležité vlastnosti Laplacovy transformace |

4 Vnější (vstupní/výstupní) popis - pokračování |

4.1 Obrazová přenosová funkce | 4.2 Rozložení nulových bodů a pólů operátorové přenosové funkce | 4.3 Frekvenční přenosová funkce a frekvenční charakteristiky | 4.4 Impulzní charakteristika | 4.5 Přechodová charakteristika | 4.6 Vzájemné vztahy mezi různými formami vnějšího popisu lineárního systému |

Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase II |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Vnější popis nelineárních systémů | 2 Vnitřní (stavový) popis |

2.1 Lineární případ | 2.2 Nelineární případ |

3 Chování systémů |

3.1 Základní jevy v systémech |

4 Stabilita |

4.1 Základní pojmy | 4.2 Zkoumání stability | 4.3 Zobecněná stabilita dle Ljapunova |

5 Kauzalita |

Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Vnější (vstupní/výstupní) popis |

1.1 Diferenční rovnice |

2 Transformace Z |

2.1 Zavedení transformace Z | 2.2 Důležité vlastnosti transformace Z |

3 Vnější (vstupní/výstupní) popis - pokračování |

3.1 Obrazová přenosová funkce | 3.2 Rozložení nulových bodů a pólů obrazové přenosové funkce | 3.3 Frekvenční přenosová funkce a frekvenční charakteristiky | 3.4 Časové charakteristiky |

4. Vnitřní (stavový) popis | 5 Stabilita |

Systémové struktury |

4.3 Princip zpětnovazební regulace | 4.1 Popis přenosu zpětnovazebního systému | 4.2 Vlastnosti zpětnovazebního zapojení |

Komplexní čísla |

Výstupy z výukové jednotky | Základní typy popisu komplexních čísel | Matematické operace s komplexními čísly | Komplexní exponenciála |

Spojité deterministické modely I | Diskrétní deterministické modely | Úvod do matematického modelování | Vybrané kapitoly z matematického modelování |

Matematické operace s komplexními čísly

Rovnost dvou komplexních čísel

Dvě komplexní čísla a v kartézském tvaru jsou si rovna, pokud platí

(7)

Dvě komplexní čísla a v exponenciálním tvaru jsou si rovna, pokud platí

(8)

Ekvivalentně platí vztah Komplexní čísla (8) i pro goniometrický tvar komplexních čísel.

Sečítání a rozdíl dvou komplexních čísel

Pro sečítání komplexních čísel a platí

(9)

Pro rozdíl dvou komplexních čísel pak ekvivalentně je

(10)

Příklad 2.1. Sečtěte komplexní čísla a

Řešení.

Součin a podíl dvou komplexních čísel

Součin dvou komplexních čísel a v kartézském tvaru se určí podle vztahu

(11)

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny a využijeme vztah

Součin dvou komplexních čísel a v exponenciálním tvaru určíme podle vztahu

Pro sečítání a násobení dvou, případně více komplexních čísel platí následující pravidla:

asociativní zákon:
komutativní zákon:
distributivní zákon
pro každé platí
ke každému x existuje takové číslo že
ke každému existuje takové číslo že Pak píšeme, že nebo

Podíl dvou komplexních čísel a v kartézském tvaru je dán vztahem

(12)

Podíl dvou komplexních čísel a v exponenciálním tvaru je dán vztahem

(13)

Pro operace s komplexně sdruženými čísly platí

(14)

Příklad 2.2. Mějme komplexní čísla a Určete jejich součet, rozdíl, součin a podíl.

Řešení.

Příklad 2.3. Vynásobte komplexní čísla a

Řešení.

Uspořádání komplexních čísel

Na rozdíl od reálných čísel nelze komplexní čísla uspořádat, tj. nelze je seřadit podle velikosti tak, aby se toto seřazení rozumně chovalo z hlediska základních matematických operací.

Umocňování a odmocňování komplexních čísel

Věta 2.4. (Moivrova). Pro každé reálné a celočíselné je

(15)

Z Moivrovy věty pak pro celočíselné umocňování komplexních čísel v geometrickém, resp. exponenciálním tvaru různých od nuly je

(16a)

resp.

(16b)

Pro přirozené číslo k je -tá odmocnina z komplexního čísla takové číslo pro které platí

(17)

Je-li od nuly různé, existuje právě k různých hodnot odmocniny pro které je

(18)

pro

Pro je

Příklad 2.5. Určete pokud je

Řešení. Podle Moivrovy věty je

Příklad 2.6. Určete

Řešení. S aplikací Moivrovy věty a z ní vyplývajícího vztahu Komplexní čísla (18) je

To znamená, že je