2.1 Signál, veličina, funkce, časová řada

Matematicky lze veličinu/signál obecně popsat pomocí funkce nezávislých proměnných z oboru určeného kartézským součinem dílčích definičních oborů jednotlivých proměnných V případě, že (hovoříme o jednorozměrných veličinách/signálech), bývá nezávisle proměnnou zpravidla čas. Matematický model je pak funkcí jedené proměnné. V případě, že bývají nezávisle proměnnými většinou prostorové souřadnice. Tehdy hovoříme o dvourozměrných signálech, někdy je označujeme jako 2D signály. Jsou jimi všechny obrazy (obr. Kapitola počáteční 6). Pokud je pak jsou nezávisle proměnné zpravidla nějakou kombinací času a prostorových souřadnic. Jsou-li tři proměnné prostorové, pak hovoříme o snímku trojdimenzionální scény. Filmový záznam je reprezentován časovou sekvencí 2D snímků, tedy se jedná o data se dvěma prostorovými proměnnými spolu s jednou časovou proměnnou.

Obr. 6. Dvourozměrný signál - RTG snímek paty

Obor proměnných ve které jsme schopni měřit hodnoty dané veličiny, označíme jako primární (originální) oblast popisu veličiny/signálu. Je-li potřeba (např. pro lepší názornost) transformovat signál z původní primární oblasti popisu na funkci nějaké jiné nezávislé veličiny, pak o výsledku transformace hovoříme jako o reprezentaci signálu v sekundární oblasti popisu. To je například při popisu spektrálních vlastností veličiny/signálu, což je výsledek transformace původních dat do tvaru, kdy jsou vlastnosti signálu vyjádřeny pomocí závislosti na frekvenci harmonických složek, z nichž se původní průběh skládá (obr. Kapitola počáteční 5).

Hodnoty veličin/signálů, které měříme na skutečných, reálně existujících systémech, jsou výhradně reálné. Takto naměřené hodnoty však mohou být během zpracování podrobeny různým operacím, jejichž výsledkem bývají funkce s hodnotami jak reálnými, tak i komplexními. Proto, i když případy, kdy funkce popisující analyzované veličiny nabývají komplexních hodnot, jsou v praxi nesrovnatelně méně časté, měly by být matematické funkce modelující zpracovávanou veličinu/signál obecně schopny vyjádřit i komplexní závislosti.

Komplexní veličina/signál se skládá ze dvou navzájem nezávislých složek - reálné a imaginární nebo modulové a fázové, je tedy speciálním příkladem vícesložkové veličiny resp. vícekanálového signálu, který se obecně skládá z K různých průběhů, zpravidla reprezentujících týž zdrojový proces (obr. Kapitola počáteční 1, Kapitola počáteční 7 nebo Kapitola počáteční 8). Na základě uvedených poznatků je tedy funkce popisující veličinu/signál, obecně vektorovou funkcí vektorového argumentu.

Obr. 7. Záznam signálu EEG

Obr. 8. Paralelní záznam veličin popisujících činnost srdce – a) a b) fonokardiogram snímaný ve dvou pozicích na hrudníku; c) signál EKG; d) ultrazvukový M-scan – vodorovná osa je stejně jako v případě výše znázorněných signálů časová, vertikální osa popisuje hloubku umístění jednotlivých struktur v hrudníku (zkratkou MVE a šipkami je vyznačen pohyb srdeční mitrální chlopně)

Konečně, pojem časová řada používáme pro označení posloupnosti hodnot navzorkované veličiny. Jak posléze uvidíme, v podstatě je opět synonymem pro pojem diskrétní signál a záleží jen a jen na disciplíně, kde je více používán ten či onen pojem. V technických oborech je zvykem používat pojem diskrétní signál, ve vědách netechnických se spíše používají a zpracovávají časové řady.

Definice 2.2. Časová řada je uspořádaná množina hodnot určité veličiny kde index určuje čas, kdy byla hodnota určena. V případě, že jsou časy rozmístěny na časové ose pravidelně, bývá výše uvedený zápis zjednodušován do formy

Druhým, zjednodušeným způsobem definičního zápisu časové řady je ale potlačována časová závislost sledované veličiny a je nahrazována pouhou závislostí na pořadí, což může být v různých situacích nežádoucí, na druhé straně tento zápis umožňuje použít teoretického aparátu časových řad i pro jiné formy závislosti, např. na prostorových souřadnicích.

Podobně jako na signál či veličinu lze nahlížet i na pojem data³, která také mají svou hmotnou (nosič dat – CD, notes, …) i nehmotnou informační složku (třeba datum a místo narození). Formálně lze chápat pojem data za obecnější. Signál a veličina jsou významově spojeny s dynamikou – v čase nebo prostoru (RTG snímek může být chápán jako dvourozměrný signál, kde nosičem je filmová folie, jejíž zčernání či prosvětlení primárně vyjadřuje míru pohlcování RTG záření v zobrazované tkáni - nezávislými veličinami jsou dvě prostorové souřadnice každého bodu na fólii a závislou veličinou je úroveň zčernání filmové fólie – obr. Kapitola počáteční 6), zatímco pojem data určitě a možná především používáme i při práci s časově, či prostorově neměnnými hodnotami.

Jistým dalším zobecněním je pojem proces⁴ (nikoliv náhodný proces, což je terminus technicus používaný ve statistice), který může být reprezentován několika signály vyjadřujícími tutéž veličinu, příp. i veličiny různé. Např. aktivitu mozkových buněk reprezentujeme záznamem elektroencefalografického (EEG) signálu (obr. Kapitola počáteční 7), který představuje paralelní záznam elektrického napětí mezi místy zpravidla na povrchu hlavy, kde jsou umístěny snímací elektrody, jako důsledek elektromagnetického pole vytvářeného průchodem lokálních elektrických proudů v a mezi mozkovými neurony. Druhým případem, kdy jsou veličiny různé, může být např. proces zdravotní péče v daném zdravotnickém zařízení, charakterizovaný pomocí měsíčně vykázaných údajů o vynaložených finančních prostředcích, počtem ošetřených pacientů, počtem využitých lůžek akutní péče,... Příklad medicínský představuje obr. Kapitola počáteční 8, zobrazující průběh různých veličin popisujících elektrickou i mechanickou funkci srdečního svalu.

Použité matematické prostředky budou nepochybně závislé na charakteru zpracovávané veličiny/signálu. Z pojmů, které jsme až dosud uvedli, či alespoň naznačili, jsou pro rozhodnutí o výběru matematických prostředků pro popis dat důležité zejména:

1. determinovanost průběhu

Je-li tvar funkce popisující průběh signálu jednoznačně určen pro jakoukoliv přípustnou hodnotu argumentu tj. je možné vždy předem stanovit, jaké okamžité hodnoty nabude funkce v libovolném bodě definičního oboru, pak nazýváme signál a tím i modelovou funkci deterministickými. Modelem takového signálu je deterministická matematická funkce, např. kde je úhlová frekvence.

Nejsou-li, naopak, hodnoty signálu pro libovolnou hodnotu argumentu jednoznačné, hovoříme o signálu nedeterministickém, příp. často náhodném. Náhodný signál je jednou z možných realizací náhodného procesu , který vyjadřuje celkové vlastnosti chování zdroje dat. Náhodný proces i náhodnou veličinu⁵/signál jsme schopni popsat pouze jejich pravděpodobnostními charakteristikami. Jak již bylo dříve uvedeno, není to jediná možnost jak popsat nedeterministický průběh signálu, alternativou může být popis, jak již bylo dříve uvedeno, např. pomocí teorie mlhavých (fuzzy) množin a fuzzy logiky či algebry.

(1)

pro libovolné celé k, je funkce periodická vzhledem k proměnné a je jeho perioda⁶. Je-li třeba, můžeme každou neperiodickou funkci, deterministickou i nedeterministickou, považovat za periodickou s periodou

Některé biologické či fyziologické procesy mají rytmický, téměř pravidelně se opakující průběh, že je lze, za jistých zjednodušujících předpokladů, považovat za periodické. Takové jsou např. signály odvozené od srdeční aktivity, částečně i z dýchání, procesy vázané na denní, měsíční, příp. i roční cyklus. Abychom zdůraznili odlišnost od přesné periodicity mnohých signálů technického původu, hovoříme v tomto případě o veličinách/signálech repetičních. Naopak, jiné veličiny mají natolik nepravidelný charakter, že k nim lze přistupovat jako k veličinám náhodným – elektrická aktivita kosterních svalů – elektromyogram (EMG) nebo spontánní EEG (obr. Kapitola počáteční 7). Jako protiklad výše zmíněných repetičních veličin je nazýváme nerepetiční.