3.4 Časové charakteristiky

3.4.1    Impulzní charakteristika

Budeme-li pro diskrétní systémy i nadále sledovat myšlenky odvození charakteristik lineárních systémů pracujících ve spojitém čase, pak z definičního vztahu obrazové přenosové funkce je pro obraz výstupní posloupnosti

(29)

Protože ze dřívějška víme (příklad Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase 2.3 nebo tabulka Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase 1), že obrazem Z diskrétního jednotkového skoku je je průběh odezvy systému na buzení diskrétním jednotkovým impulzem určen zpětnou transformací Z¹ operátorové přenosové funkce

(30)

Obecně je obrazová přenosová funkce dána racionální lomenou funkcí dvou polynomů

(31)

Nejjednodušší způsob výpočtu impulzní odezvy systému je tehdy, když nebo když podíl obou polynomů a lze určit beze zbytku. Pak

(32)

a impulzní odezva je přímo dána hodnotami koeficientů polynomu

(33)

Protože je i posloupnost koeficientů konečná a tyto systémy označujeme jako systémy s konečnou impulzní odezvou (KIO, v anglické literatuře Finite Impulse Response – FIR). Na rozdíl od opačného případu, kdy podíl obou polynomů a obrazové přenosové funkce nelze určit beze zbytku. Takové systémy označujeme jako systémy s nekonečnou impulzní odezvou (NIO, v anglické literatuře Infinite Impulse Response – IIR).

Systémy s přenosovou funkcí podle vztahu Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase (32) také často označujeme jako systémy s klouzavým průměrem (v anglické literatuře Moving Average - MA). Tento název ale vyvolává matematicky korektní představu, že koeficienty přenosové funkce jsou koeficienty váženého průměru, jejichž součet musí být roven jedné. Tento požadavek přenesený do systémové oblasti by znamenal, že systém s takovou charakteristikou by měl jednotkové zesílení, což jednak nemusí být vždy potřeba, jednak ani žádoucí. Proto se teorie systémů staví k tomuto pojmu a z něj vyplývajícímu požadavku poněkud svobodomyslněji.

Příklad 3.4. Určete impulzní charakteristiku systému definovanému pomocí obrazové přenosové funkce

Řešení.

1. Diferenční rovnice systému se zadanou obrazovou přenosovou funkcí je

Z toho plyne, že se na výpočtu výstupní posloupnosti podílí i o jeden vzorek zpožděná hodnota výstupní posloupnosti. To představuje zavedení do výpočtu výstupního vzorku zpětné vazby, která by mohla způsobit jisté obtíže při výpočtu zpětné transformace Z. Zkusme proto nejdříve, zda jsou oba polynomy dělitelné bezezbytku.

Vypadá to, že jsou a můžeme tedy impulzní charakteristiku psát ve tvaru

2. Protože impulzní charakteristika je výstupem systémy buzené jednotkovým impulzem, přepišme diferenční rovnici systému do tvaru pro výpočet výstupního vzorku v okamžiku k, tj.

a této rovnice použijme pro výpočet výstupní posloupnosti pro za předpokladu nulových počátečních podmínek, tj.

Oběma způsoby jsme tak spočítali tutéž posloupnost určující impulzní charakteristiku zadaného systému.

Příklad 3.5. Určete obrazovou přenosovou funkci systému s impulzní charakteristikou

Řešení. Pro obraz Z zadané posloupnosti, tj. pro přenosovou funkci systému, je

To je nekonečná geometrická posloupnost s kvocientem a za uvedené podmínky pro hodnotu parametru a je její součet

3.4.2    Přechodová charakteristika

Již víme, že přechodová charakteristika systému je jeho odezva na buzení jednotkovým skokem. Protože obraz Z jednotkového skoku je (Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase 1)

(34)

je pro obraz přechodové charakteristiky systému s obrazovou přenosovou funkcí

(35)

a pro její průběh v čase je

(36)

Srovnáním vztahů Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase (30) a Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase (36) vidíme, že mezi obrazy obou časových charakteristik lineárního systému pracujícího v diskrétním čase je vztah

(37)

Protože podle vztahu Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase (31) odpovídá výraz také součtu v časové oblasti, vyplývá z toho, že mezi oběma časovými charakteristikami v časové oblasti platí

(38)

a naopak

(39)

což jsou vztahy, kterým snadno porozumíme podle toho, jak definičně souvisí diskrétní jednotkový impulz a diskrétní jednotkový skok a podle toho, že obě časové charakteristiky jsou výsledkem lineárního zpracování obou jednorázových posloupností.

Příklad 3.6. Určete přechodovou charakteristiku systému definovanému v příkladu Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase 3.4 pomocí obrazové přenosové funkce

Řešení. Řešení můžeme najít třeba třemi různými způsoby. Jednak podle definičního vztahu Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase (36), jednak ze znalosti impulzní charakteristiky podle vztahu Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase (38), jednak přímo jako výstupní posloupnost při buzení soustavy diskrétním jednotkovým skokem.

1. Protože podle vztahu Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase (36) je se zadanou přenosovou funkcí

V tab. Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase 1 lze najít, že časovým vzorem obrazové funkce  je jednotková skoková funkce pro a násobení obrazové funkce reprezentuje zpoždění o i vzorků. Z tohoto poznání plyne, že a tedy konkrétně

Přechodová charakteristika zadané soustavy je tedy dána posloupností

2. Výpočet přechodové charakteristiky pomocí charakteristiky impulzní je dán vztahem Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase (38) a impulzní charakteristiku jsme vypočítali v příkladu Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase 3.4 jako pro Z toho pro konkrétní hodnoty k plyne

3. Pro poslední způsob výpočtu potřebujeme diferenční rovnici systému, kterou jsme opět určili v příkladu Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase 3.4 jako

Tedy opět pro konkrétní hodnoty  a je

Protože ve všech třech případech je vypočtená přechodová charakteristika táž, počítali jsme asi správně.

¹Formálně je zpětná (inverzní) transformace Z definována vztahem

kde je jednoduchá uzavřená a kladně orientovaná křivka ležící v oblasti konvergence a obklopující počátek. Výsledek je násoben jednotkovým skokem, aby platilo pro Pro praxi je obecný vzorec téměř nepoužitelný a inverzní transformace se určuje podobně jako v případě Laplacovy transformace kombinací následujících způsobů :1. přímý převod; 2. dělení polynomů; 3. rozklad na parciální zlomky.