5 Stabilita

Podobně, jako když jsme se zabývali stabilitou spojitých systémů Stabilita se v následném soustřeďme na asymptotickou stabilitu lineárních systémů, tentokrát samozřejmě pracujících s diskrétním časem. Zopakujme si některé, z pohledu posouzení stability podstatné skutečnosti.

Systém je stabilní, pokud na každý ohraničený vstup reaguje rovněž ohraničeným výstupem, tzv. BIBO stabilita. Nutnou a postačující podmínkou pro tuto formu stability je Hurwitzovo kritérium, které v diskrétním tvaru je

(42)

kde je impulzní charakteristika systému. Vskutku, pokud platí podmínka Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase (42) a současně je vstupní posloupnost ohraničená, tj.

(43)

pak z konvoluční sumy

je

(44)

výstupní posloupnost je ohraničená a podmínka Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase (42) je postačující. Že je to i podmínka nutná, dokažme sporem.

Předpokládejme, že Hurwitzova podmínka neplatí, tj.

(45)

a přesto je systém stabilní. Pokusme se nyní najít takovou posloupnost, která by nesplňovala základní, výše uvedenou podmínku BIBO stability, tj. že by na ohraničený vstup systém reagoval neomezeným výstupem.

Pro vstupní posloupnost použijme

(46)

potom

(47)

Není-li Hurwitzova podmínka splněna, je systém nestabilní. Je tedy současně i podmínkou nutnou.

Podobně jako u spojitých systémů lze podmínku stability formulovat i pomocí polohy pólů operátorové přenosové funkce, která jednoznačně určuje i tvar impulzní odezvy diskrétního systému. Ukažme na základě dílčích případů, jaká je oblast, ve které se musí nacházet póly stabilního diskrétního systému. Ze vztahů uvedených v tabulce Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase 1 plyne, že má-li přenosová funkce po rozkladu na parciální zlomky člen s jedním reálným pólem, obsahuje impulzní odezva člen ve tvaru Tato dílčí posloupnost konverguje, pokud je (viz též příklad Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase 3.5). Má-li přenosová funkce parciální zlomek se dvěma komplexně sdruženými póly odpovídající komplexnímu výrazu tj. obsahuje-li člen se jmenovatelem ve tvaru obsahuje impulzní odezva dílčí posloupnost Tato posloupnost opět konverguje, pokud je modul pólů Tyto dva příklady, příp. včetně případů s násobnými reálnými kořeny vedou bez důkazu k závěru, že impulzní odezva lineárního časově invariantního systému splňuje Hurwitzovu podmínku stability, jinými slovy diskrétní systém je stabilní, pokud pro moduly všech pólů přenosové funkce platí tj. póly přenosové funkce systému leží uvnitř jednotkové kružnice v komplexní rovině z se středem v počátku souřadnicové soustavy. Pokud póly přenosové funkce leží na jednotkové kružnici, je systém na mezi stability, pokud leží mimo oblast ohraničenou jednotkovou kružnicí v rovině je diskrétní systém nestabilní.

Příklad 5.1. Rozhodněte o stabilitě systému s obrazovou přenosovou funkcí

Řešení. Zadaný systém má jediný reálný pól pro Protože jeho hodnota je menší než jedna, leží uvnitř jednotkové kružnice a tudíž systém je stabilní.

 

Příklad 5.2. Rozhodněte o stabilitě systému s obrazovou přenosovou funkcí

Řešení. Přenosovou funkci pro hledání pólů je vhodné převést do tvaru s kladnými mocninami proměnné z vynásobením čitatele i jmenovatele přenosové funkce V tom případě dostáváme

Charakteristická rovnice  má řešení a tedy i přenosová funkce ryze imaginární póly Protože modul těchto komplexně sdružených čísel je větší než jedna, póly leží vně jednotkové kružnice a systém je nestabilní.

 

Příklad 5.3. Rozhodněte o stabilitě systému s obrazovou přenosovou funkcí

Řešení. Zkusme rozhodnout dvěma možnými způsoby – pomocí polohy pólu přenosové funkce a pomocí Hurwitzovy podmínky pomocí impulzní charakteristiky systému.

1. Přenosovou funkci opět převedeme do tvaru s kladnými mocninami Dostáváme

Z řešení charakteristické rovnice plyne, že pól přenosové funkce leží v počátku komplexní roviny tzn. neexistuje poloha pólu více uvnitř jednotkové kružnice, tedy hodnota, pro kterou by byl systém stabilnější.

2. Impulzní charakteristika systému je (kdo to neumí spočítat, nechť si znovu projde příklad Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase 3.4). Protože podle Hurwitzovy podmínky musí být

určeme součet absolutních hodnot vzorků impulzní charakteristiky pro který je

a to je hodnota významně menší než nekonečno. Proto i z hlediska tohoto kritéria je soustava stabilní.