3.2 Diskrétní konvoluce
Zopakujme nejdříve, že konvoluce pro dvě spojité funkce a byla definována vztahem Modely veličin spojitých v čase II (1)
Pokusíme-li se vytvořit diskrétní ekvivalent tohoto vztahu, pak i bez velkého přemýšlení lze psát
(15) |
A protože konvoluce má komutativní vlastnost platí samozřejmě stejně jako ve spojitém případě i
(16) |
Pro kauzální posloupnosti, tj. takové, pro které platí pro se konvoluční vztah mění Modely veličin spojitých v čase II (11) na
(17) |
V reálných podmínkách při zpracování reálných dat samozřejmě nejsou posloupnosti a nekonečné, nýbrž mají konečnou délku. Předpokládejme obecně vzorků v případě posloupnosti a vzorků v případě posloupnosti Dále položme pro a analogicky pro V tom případě je
(18) |
Algoritmus výpočtu konvoluce dvou konečných posloupností spočívá v součtu dílčích součinů prvků posloupnosti a v čase invertované a o n prvků směrem v kladné časové ose posunuté posloupnosti (obr. Časové řady I 10).
|
Obr. 10. Schéma výpočetního algoritmu konvoluce konečných posloupností
|
Příklad 3.1. Vypočtěte konvoluci posloupností a
Řešení. Pro výpočet se také občas uvádí následující výpočetní schéma:
Příklad 3.2. Podle výše uvedeného výpočetního schématu spočítejte konvoluci dvou posloupností a (obr. Časové řady I 11).
Řešení.
Výsledkem konvoluce obou posloupností je tedy posloupnost
(obr. Časové řady I 11 ).
|
|
Obr. 11. Zadání a řešení příkladu
|
Z výpočetních schémat v předchozích příkladech je zřejmé, že na začátku, ale je tomu tak i na konci výpočtu, konvoluční suma nezahrnuje všechny dílčí součiny, jak by plnohodnotně náleželo podle délky obou posloupností – nastává jistý přechodný děj.
Tento jev by bylo možné eliminovat za předpokladu periodičnosti alespoň jedné z obou posloupností.
Předpokládejme, že délka obou posloupností je což je současně perioda posloupnosti Potom můžeme konvoluční vztah definovat jako
|
(19) | |
Takový způsob výpočtu nazýváme kruhová konvoluce a jeho výpočetní schéma je zobrazeno na obr. Časové řady I 12.
|
Obr. 12. Výpočetní schéma kruhové konvoluce
|
Příklad 3.3. Vypočítejte konvoluční posloupnost pro vstupní posloupnosti
aŘešení
Protože posloupnost je posloupnost odpovídající diskrétnímu jednotkovému impulzu, tak díky platnosti vztahů Časové řady I (11) a Časové řady I (12) je výsledná konvoluční posloupnost rovna posloupnosti
Příklad 3.4. Vypočítejte konvoluci posloupností
aŘešení.
Příklad 3.5. Vypočítejte konvoluci posloupností
aŘešení.
Z tohoto i předcházejícího příkladu vyplývá i platnost šířkové vlastnosti konvoluce – délka výsledné posloupnosti je rovna součtu délek obou vstupních posloupností mínus jedna.
Příklad 3.6. Vypočítejte kruhovou konvoluci pro vstupní posloupnosti a
Řešení. Výsledná posloupnost je
Příklad 3.7. Vypočítejte kruhovou konvoluci pro vstupní posloupnosti a
Řešení. Výsledná posloupnost je