
2.1 Zavedení transformace Z
Transformace Z je obdobou Laplacovy transformace pro případ diskrétních posloupností. Podobně jako Laplacova transformace převádí integrodiferenciální rovnice na rovnice algebraické, transformace Z tak činí s rovnicemi diferenčními a tak zjednodušuje případnou analýzu systémů s diskrétním časem. Vlastnosti transformace Z jsou podobné vlastnostem transformace Laplacovy, ale existují i některé významné rozdíly.
Definice 2.1. Posloupnost má dvoustrannou (bilaterální) transformaci Z
pokud existuje řada
|
(4) |
kde je obecně komplexní proměnná zpravidla vyjadřovaná v polárním tvaru jako
|
(5a) |
resp. chceme-li zachovat fyzikální význam exponentu, pak
|
(5b) |
kde je modul komplexního čísla
a
resp.
(pro případ jednotkové vzorkovací periody) je jeho argument.
Podobně jako u Laplacovy transformace, při práci s kauzálními diskrétními systémy lze použít tzv. jednostrannou transformaci Z.
Definice 2.2. Posloupnost má jednostrannou transformaci Z
pokud existuje řada
|
(6) |
Zcela zřejmě jednostranná i dvoustranná transformace Z mají tytéž vlastnosti pouze když pro
Formálně za jednostrannou transformaci Z posloupnosti
může být považována dvoustranná transformace Z součinu posloupnosti
s diskrétním jednotkovým skokem, tj.
|
(7) |
Srovnáme-li definici Fourierovy transformace s diskrétním časem Fourierova transformace s diskrétním časem (DTFT) říkající, že
s definičním vztahem pro transformaci Z se substitucí resp.
pro
což reprezentuje harmonickou jádrovou funkci s jednotkovou amplitudou, vidíme, že jsou oba vztahy ekvivalentní. Fourierova transformace s diskrétním časem tedy může být považována za specifický případ transformace Z, opět podobně jako v případě vztahu Fourierovy a Laplacovy transformace.
Příklad 2.3. Určete transformaci Z diskrétního jednotkového impulzu
který je definován vztahem
Řešení. Jednostrannou transformaci Z jednotkového impulzu spočítáme podle definičního vztahu
Příklad 2.4. Určete transformaci Z v čase posunutého diskrétního jednotkového impulzu
Řešení. Pro posunutý diskrétní jednotkový impulz je
Pro jeho jednostrannou transformaci Z pak podle definičního vztahu je
Z vypočítaného vztahu po zobecnění plyne, že posun o i vzorků do kladných hodnot časové osy je reprezentován násobením obrazu Z dané posloupnosti
Příklad 2.5. Určete transformaci Z diskrétní jednotkové skokové posloupnosti
Řešení. Podle definičního vztahu jednostranné transformace Z je transformace Z jednotkového skoku dána nekonečným součtem
Abychom získali kompaktnější výraz, vynásobme obě strany
Tím dostaneme
Z toho pak je
Vzorce vypočítané v příkladech Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase 2.3 až 2.5 jsou spolu s dalšími, pro další důležité posloupnosti, uvedeny v tab. Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase 1.
oblast konvergence | ||
pro |
||