Analýza a modelování dynamických biologických datSignály a lineární systémy Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase 2 Transformace Z 2.1 Zavedení transformace Z

Kapitola počáteční |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Začínáme – několik ilustračních příkladů na úvod | 2 Nejdůležitější pojmy |

2.1 Signál, veličina, funkce, časová řada | 2.2 Systém |

Modely veličin spojitých v čase I |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Základní typy matematických modelů veličin spojitých v čase |

1.1 Periodické funkce |

1.1.1 Harmonická funkce |

1. 2 Neperiodické funkce |

1.2.1 Deterministické jednorázové funkce | 1.2.2 Náhodné funkce |

2 Základní unární operace s funkcemi se spojitým časem |

Modely veličin spojitých v čase II |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Konvoluce | 2 Kauzalita | 3 Korelace |

3.1 Korelační koeficient | 3.2 Korelační funkce |

Modely veličin spojitých v čase III |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Rozklad spojitých periodických funkcí na dílčí harmonické složky |

1.1 Proč? | 1.2 Fourierova řada |

2 Rozklad spojitých neperiodických funkcí na dílčí harmonické složky – Fourierova transformace |

2.1 Definice | 2.2 Vlastnosti Fourierovy transformace | 2.3 Několik řešených příkladů | 2.4 A na konec ještě pár příkladů k procvičení |

Časové řady I |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Vzorkování |

1.1 Seznamme se | 1.2 Vzorkovací teorém |

2 Základní typy matematických modelů veličin diskrétních v čase |

2.1 Konvence na začátek | 2.2 Periodické posloupnosti | 2.3 Jednorázové posloupnosti |

3 Základní operace s matematickými modely veličin diskrétních v čase |

3.1 Úvodní poznámky | 3.2 Diskrétní konvoluce | 3.3 Diskrétní korelační posloupnost |

Časové řady II |

Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase I |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Linearita | 2 Vnější (vstupní/výstupní) popis lineárních systémů |

2.1 Lineární diferenciální rovnice |

3 Laplacova transformace |

3.1 Zavedení Laplacovy transformace | 3.2 Důležité vlastnosti Laplacovy transformace |

4 Vnější (vstupní/výstupní) popis - pokračování |

4.1 Obrazová přenosová funkce | 4.2 Rozložení nulových bodů a pólů operátorové přenosové funkce | 4.3 Frekvenční přenosová funkce a frekvenční charakteristiky | 4.4 Impulzní charakteristika | 4.5 Přechodová charakteristika | 4.6 Vzájemné vztahy mezi různými formami vnějšího popisu lineárního systému |

Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase II |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Vnější popis nelineárních systémů | 2 Vnitřní (stavový) popis |

2.1 Lineární případ | 2.2 Nelineární případ |

3 Chování systémů |

3.1 Základní jevy v systémech |

4 Stabilita |

4.1 Základní pojmy | 4.2 Zkoumání stability | 4.3 Zobecněná stabilita dle Ljapunova |

5 Kauzalita |

Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Vnější (vstupní/výstupní) popis |

1.1 Diferenční rovnice |

2 Transformace Z |

2.1 Zavedení transformace Z | 2.2 Důležité vlastnosti transformace Z |

3 Vnější (vstupní/výstupní) popis - pokračování |

3.1 Obrazová přenosová funkce | 3.2 Rozložení nulových bodů a pólů obrazové přenosové funkce | 3.3 Frekvenční přenosová funkce a frekvenční charakteristiky | 3.4 Časové charakteristiky |

4. Vnitřní (stavový) popis | 5 Stabilita |

Systémové struktury |

4.3 Princip zpětnovazební regulace | 4.1 Popis přenosu zpětnovazebního systému | 4.2 Vlastnosti zpětnovazebního zapojení |

Komplexní čísla |

Výstupy z výukové jednotky | Základní typy popisu komplexních čísel | Matematické operace s komplexními čísly | Komplexní exponenciála |

Spojité deterministické modely I | Diskrétní deterministické modely | Úvod do matematického modelování | Vybrané kapitoly z matematického modelování |

2.1 Zavedení transformace Z

Transformace Z je obdobou Laplacovy transformace pro případ diskrétních posloupností. Podobně jako Laplacova transformace převádí integrodiferenciální rovnice na rovnice algebraické, transformace Z tak činí s rovnicemi diferenčními a tak zjednodušuje případnou analýzu systémů s diskrétním časem. Vlastnosti transformace Z jsou podobné vlastnostem transformace Laplacovy, ale existují i některé významné rozdíly.

Definice 2.1. Posloupnost má dvoustrannou (bilaterální) transformaci Z pokud existuje řada

(4)

kde je obecně komplexní proměnná zpravidla vyjadřovaná v polárním tvaru jako

(5a)

resp. chceme-li zachovat fyzikální význam exponentu, pak

(5b)

kde je modul komplexního čísla a resp. (pro případ jednotkové vzorkovací periody) je jeho argument.

Podobně jako u Laplacovy transformace, při práci s kauzálními diskrétními systémy lze použít tzv. jednostrannou transformaci Z.

Definice 2.2. Posloupnost má jednostrannou transformaci Z pokud existuje řada

(6)

Zcela zřejmě jednostranná i dvoustranná transformace Z mají tytéž vlastnosti pouze když pro Formálně za jednostrannou transformaci Z posloupnosti může být považována dvoustranná transformace Z součinu posloupnosti s diskrétním jednotkovým skokem, tj.

(7)

Srovnáme-li definici Fourierovy transformace s diskrétním časem Fourierova transformace s diskrétním časem (DTFT) říkající, že

s definičním vztahem pro transformaci Z se substitucí resp. pro což reprezentuje harmonickou jádrovou funkci s jednotkovou amplitudou, vidíme, že jsou oba vztahy ekvivalentní. Fourierova transformace s diskrétním časem tedy může být považována za specifický případ transformace Z, opět podobně jako v případě vztahu Fourierovy a Laplacovy transformace.

Příklad 2.3. Určete transformaci Z diskrétního jednotkového impulzu který je definován vztahem

Řešení. Jednostrannou transformaci Z jednotkového impulzu spočítáme podle definičního vztahu

Příklad 2.4. Určete transformaci Z v čase posunutého diskrétního jednotkového impulzu

Řešení. Pro posunutý diskrétní jednotkový impulz je

Pro jeho jednostrannou transformaci Z pak podle definičního vztahu je

Z vypočítaného vztahu po zobecnění plyne, že posun o i vzorků do kladných hodnot časové osy je reprezentován násobením obrazu Z dané posloupnosti

Příklad 2.5. Určete transformaci Z diskrétní jednotkové skokové posloupnosti

Řešení. Podle definičního vztahu jednostranné transformace Z je transformace Z jednotkového skoku dána nekonečným součtem Abychom získali kompaktnější výraz, vynásobme obě strany Tím dostaneme

Z toho pak je