2.1 Definice
Jak jsme uvedli v dřívějším textu, neperiodické funkce lze považovat za periodické s nekonečně dlouhou periodou. Protože kmitočet základní harmonické složky periodické funkce je
(14) |
pak pro je
(15) |
Graficky to představuje zhušťování spektrálních čar s prodlužující se periodou až do limitního případu, kdy se vzdálenost mezi spektrálními čarami blíží limitně nule. Pro neperiodickou funkci tedy budou spektrální čáry na sebe navazovat, z diskrétní reprezentace úhlové frekvence jednotlivých harmonických složek se stává veličina spojitá a definiční sumační vztah pro Fourierovu řadu (viz např. Modely veličin spojitých v čase III (7)) přechází na vztah integrační, kde koeficienty určíme na základě následující úvahy.
Ve vztahu Modely veličin spojitých v čase III (8), tj.
je a tedy pro limitní rozdíl dvou sousedních frekvencí je a Meze integrálu budou pro nekonečně dlouho trvající funkci a Pro budou rovněž amplitudy spojitého spektra jednorázového impulzu nekonečně malé. Vyjádřeme vztah Modely veličin spojitých v čase III (8) pro v limitním tvaru a dostáváme
(16) |
Potom se definiční vztah Fourierova rozkladu transformuje do podoby
(17) |
kde vztah
(18) |
pro výpočet funkce kterou nazýváme spektrální funkcí nebo spektrální hustotou funkce nazýváme Fourierovu transformaci. Lineární integrální Fourierova transformace převádí funkci z časové domény na funkci v kmitočtové oblasti. Aby bylo možné Fourierovu transformaci spočítat, stačí, aby funkce byla absolutně integrovatelná na celém definičním intervalu1. Spektrální funkce už nevyjadřuje skutečné amplitudy jednotlivých harmonických složek původní funkce jako v případě rozkladu pomocí Fourierovy řady, nýbrž jen jejich poměrné zastoupení.
Vztah Modely veličin spojitých v čase III (16) definuje inverzní relaci, tj. způsob výpočtu časového průběhu funkce z jejího spektrálního vyjádření. Tento výpočet nazýváme inverzní (zpětnou) Fourierovou transformací.
1 Uvidíme záhy při výpočtu spektrální funkce jednotkového skoku, že tato dostatečná podmínka není zcela nutná a lze ji ještě jistým zobecněním zeslabit.