1.2 Vzorkovací teorém

Vzorkováním určité reálné veličiny, která je definovaná na určitém spojitém definičním oboru (intervalu), rozumíme činnost, kdy vybíráme hodnoty dané veličiny pouze v určitých časových okamžicích, resp. pro určité hodnoty prostorových souřadnic. Ty hodnoty časových či prostorových souřadnic mohou být rozmístěny v definičním prostoru obecně nerovnoměrně. Z hlediska práce s daty je ale výhodnější, pokud jsou souřadnice vzorků rozmístěny rovnoměrně (a v tom případě lze i teoreticky dovodit pravidlo pro maximální vzdálenost mezi každými dvěma vzorky).

Předpokládejme nadále (bez ztráty obecnosti), že nezávislou proměnnou je čas. Pak princip pravidelného vzorkování průběhu jakékoliv spojité veličiny je znázorněn na obr. Časové řady I 1, kde jednotlivé vzorky jsou od sebe vzdáleny o čas Tuto hodnotu nazýváme vzorkovací periodou.

Obr. 1. (a) Princip vzorkování, (b) spojitá funkce a její pravidelně navzorkovaná varianta.

Aby bylo možné zjednodušit analýzu vlivu vzorkování na vlastnosti vzorkované veličiny, je navzorkovaná verze původní spojité veličiny vyjadřována ve tvaru kde je periodický sled jednotkových impulsů definovaný jako

(1)

Z toho pro navzorkovanou veličinu platí

(2)

Tento vztah říká, že navzorkovaná veličina je dána sledem impulsů, jejichž velikosti jsou rovny hodnotám vzorků původní spojité veličiny v časech Vzorkování popsané vztahem Časové řady I (2) označujeme jako ideální vzorkování.

Podstatné z hlediska vzorkování je stanovení délky vzorkovací periody resp. vzorkovací frekvence nebo

Minimální hodnota frekvence vzorkování, která je dána převrácenou hodnotou vzorkovací periody, je určena tzv. vzorkovacím teorémem (často spojovaný se jmény Clauda E. Shannona, Harryho T. Nyquista, příp. Vladimira A. Kotelnikova¹), který říká, že přesná rekonstrukce spojité frekvenčně omezené veličiny z jejích vzorků je teoreticky možná tehdy, pokud byl vzorkován frekvencí nejméně dvakrát vyšší, příp. rovnou maximální frekvenci rekonstruované veličiny. Vyjádřeno matematickým vztahem, musí platit

(3)

kde je frekvence dílčí harmonické složky, která má nejvyšší frekvenci ze všech harmonických složek, které jsou v dané veličině obsaženy.

Proč tomu tak je, lze samozřejmě matematicky odvodit. Nejdříve se ale spokojme jen s následujícím poměrně prostým zdůvodněním. Jak jsme si dříve uvedli, harmonická funkce je dána třemi parametry - amplitudou, frekvencí a počáteční fází. Abychom mohli tyto tři parametry určit, potřebujeme tři rovnice pro hodnoty funkce ve třech různých časech z jedné periody (protože je harmonická funkce periodická). Mají-li být jednotlivé časové okamžiky vzdáleny rovnoměrně, je nutné, aby doba mezi nimi, tj. vzorkovací perioda, byla menší než polovina periody harmonické funkce (obr.Časové řady I 2). Má-li toto pravidlo platit i pro harmonickou složku zpracovávané veličiny s nejvyšší frekvencí, musí být vzorkovací perioda menší, než je polovina periody této harmonické složky.

Obr. 2. Princip zdůvodnění vzorkovacího teorému

Poněkud sofistikovanější zdůvodnění vzorkovacího teorému vychází ze spektrálních vlastností navzorkované spojité funkce.

Obr. 3. Vzorkování časového průběhu spojité veličiny a její spektrum

Nechť má funkce kterou chceme navzorkovat, (obr. Časové řady I 3a) spektrum zobrazené na (obr. Časové řady I 3b). Puls Diracových impulsů s periodou má spektrum ve tvaru periodického sledu Diracových impulsů ve frekvenční oblasti s periodou jak je zobrazeno na obr. Časové řady I 3d ( Modely veličin spojitých v čase III 2.4). Protože navzorkovaná posloupnost je dána součinem původního spojitého funkce a sledu jednotkových impulsů (vztah Časové řady I (2)) je výsledné spektrum navzorkované posloupnosti dáno konvolucí obou dílčích spekter. A protože z definiční vlastností jednotkového impulsu je má průběh jeho konvoluce s danou funkcí tvar určený průběhem této funkce v místě výskytu jednotkového impulsu, je výsledné spektrum takové, jaké je uvedeno na obr. Časové řady I 3f. Má periodický charakter s periodou rovnou vzorkovací frekvenci a tvar jednotlivých segmentů odpovídá tvaru spektra vzorkované veličiny. Digitalizace průběhu dané veličiny tedy způsobuje periodizaci jejího frekvenčního spektra, přičemž jednotlivé spektrální periody mají tvar spektra původní spojité veličiny. Z obrázku vyplývá, že jednotlivé segmenty spektra se nebudou prolínat, když maximální frekvence složek vzorkované veličiny nebude větší než polovina vzorkovací frekvence.

Z obr. Časové řady I 3 a především z obr. Časové řady I 4 vyplývá i princip možnosti jak realizovat zpětný převod navzorkované veličiny zpátky na spojitou. Dosáhnout toho lze potlačením těch částí spektra, které jsou kolem nenulových násobků vzorkovací frekvence. Toto potlačení se provádí selektivním systémem, který dokáže propustit harmonické složky s nižšími frekvencemi a naopak potlačuje složky s vyššími kmitočty - takovému systému (filtru) říkáme dolní propust. Pokud by vzorkovací frekvence právě splňovala vzorkovací teorém (), pak by výsledné spektrum vypadalo, jak je zobrazeno na obr. Časové řady I 4 dole. Z hlediska zpětného převodu by to znamenalo, že použitá dolní propust by měla mít ideální vlastnosti, tj. harmonické složky diskrétní posloupnosti o frekvencích do by měla zachovat bez jakéhokoliv zkreslení a naopak všechny harmonické složky, jejichž frekvence jsou vyšší než by měla beze zbytku odstranit. Takový ideální systém bohužel zrealizovat nelze a tak je potřeba při řešení reálných úloh vytvořit vzorkováním poněkud méně vyhraněnou situaci, tedy používat vzorkovací frekvenci vyšší než přesně definuje vzorkovací teorém.

Obr. 4. Spektrální princip zpětného převodu diskrétní posloupnosti na spojitou veličinu

Poznámka 1.4. Teoretické odvození zpětného převodu navzorkované veličiny si uvedeme, až bude jasné, jak se provádí harmonický rozklad diskrétních posloupností (Časové řady II - rozklad na harmonické složky).

V praxi se vzorkovací frekvence volí dvakrát větší než maximální frekvence obsažená ve vzorkované veličině plus nějaká rezerva. Např. v telekomunikacích se používá kmitočet 8 kHz pro přenos telekomunikačního signálu ve standardním pásmu od 0,3 do 3,4 kHz. U záznamu zvuku na CD je to 44,1 kHz, neboť zdravé lidské ucho slyší zvuk o frekvenci maximálně 20 kHz. U medicínských signálů jako jsou elektrokardiografický nebo elektroencefalografický signál, u kterých přísně dbáme na zachování tvaru, je rezerva zpravidla větší – vzorkovací frekvence se zatím volí až jako 4 – 5 násobek maximální frekvence ve spektru.

Pokud by vzorkovací teorém nebyl splněn, tj. vzorkovací frekvence by byla nižší než maximální frekvence ve vzorkované veličině (veličina by byla tzv. podvzorkována), pak by došlo k jevu nazývanému překrývání spekter (v anglické literatuře aliasing). Vliv podvzorkování můžeme sledovat jak v časové, tak i frekvenční doméně.

V časové doméně by při podvzorkování měla zrekonstruovaná funkce nižší frekvenci ve srovnání s původní navzorkovanou funkcí (obr. Časové řady I 5). Ze zobrazení v kmitočtové oblasti je patrno, proč jev nazýváme překrývání spekter (obr. Časové řady I 6).

Obr. 5. Důsledky překrývání spekter v časové oblasti – pokud je harmonická funkce (čárkovaná křivka) podvzorkována frekvencí nižší než vyplývá ze vzorkovacího teorému, má rekonstruovaná funkce frekvenci (plná čára), která vyplývá z předpokladu, že byl vzorkovací teorém respektován

Obr. 6. Překrývání spekter vlivem nevhodné vzorkovací frekvence – frekvenční doména

S požadavkem na vzorkovací frekvenci souvisí např. i tzv. stroboskopický jev způsobující, že se kola jedoucího vozu na filmovém záběru točí zpět při nevhodném poměru frekvence otáčení kola a frekvence snímků filmového záznamu.

Vlivem použití nízké vzorkovací frekvence a vlivem skutečnosti, že spektrum diskrétní reprezentace původní veličiny je periodické, dochází k tomu, že maximální frekvence diskretizované veličiny překročí polovinu vzorkovací frekvence a obě části spektra se sečítají. K čím většímu podvzorkování dojde, k tím většímu vyrovnání výsledného spektra dochází (při daném tvaru spektrální funkce).

¹ Claude Elwood Shannon (*1916, Petoskey, Michigan, USA; + 2001, Boston, USA), americký elektrotechnický inženýr a matematik, zakladatel teorie informace; Harry Therodor Nyquist (*1889, Stora Kil, Švédsko; +1976, Harligen, Texas, USA), švédský elektrotechnický inženýr žijící v USA, zabýval se teorií signálů a teorií řízení; Vladimir Alexandrovič Kotelnikov (*1908, Kazaň, Rusko ;+ 2005, Moskva, Ruská federace), ruský elektrotechnický inženýr a radioastronom, místopředseda Ruské AV, předseda Nejvyššího sovětu RSFSR, zabýval se teorií signálů, harmonickou analýzou a radiastronomickým průzkumem Merkuru a Venuše.