
Komplexní exponenciála
Exponenciální funkce s komplexním exponentem je definována podle vztahu
|
(19) |
Průběh exponenciální funkce s komplexním exponentem je tedy určen součinem exponenciály s reálným exponentem a exponenciály s ryze imaginárním exponentem. Exponenciála s reálným exponentem má známý průběh, v závislosti na znaménku exponentu má typický rostoucí (pro kladný exponent) či klesající (pro záporný exponent) průběh, případně konstantní průběh pro nulový exponent (obr. Komplexní čísla 4). Abychom si učinili představu o celkovém průběhu exponenciály s obecným komplexním exponentem, musíme určit průběh exponenciály s ryze imaginárním exponentem. K tomu bude užitečné rozvinout funkce
|
![]() |
Obr. 4. Průběh exponenciální funkce s reálným exponentem
|
Pro Maclaurinův rozvoj funkce do nekonečné řady platí
|
(20) |
Příklad 3.1. Rozviňte do Maclaurinovy řady funkce
a
Řešení. Rozvoj funkce
pro
Z těchto dílčích hodnot derivací plyne, že
(21) Je užitečné si všimnout, že funkce
která je lichá, se skládá pouze z lichých mocniných členů.
Rozvoj funkce
pro
Z těchto dílčích hodnot derivací pak plyne, že
(22) Rozvoj sudé funkce
obsahuje pouze sudé mocniny argumentu.
Konečně, Maclaurinův rozvoj exponenciální funkce
pro
je:
Z těchto dílčích hodnot derivací pak plyne, že
(23) |
Příklad 3.2 Určete pomocí vypočítaných mocninných řad pro funkce
a
nalezněte vztah mezi funkcemi
a
Řešení. Do odvozeného mocniného vztahu Komplexní čísla (23) dosadíme za
tj. se symbolem
jenž lépe navozuje představu úhlové veličiny. Potom s využitím vztahu Komplexní čísla (1) platí, že
|
(24) |
Tento vztah lze rozdělit na reálnou a imaginární část tak, že je
|
(25) |
a z toho s využitím vztahů Komplexní čísla (21) a Komplexní čísla (22) je
|
(26) |
což je právě rovno dříve uvedenému vztahu Komplexní čísla (6).
Co z odvozeného výrazu platí pro geometrickou představu o průběhu exponenciální funkce s ryze imaginárním exponentem? K tomu si vyjádřeme danou situaci pomocí následujícího obrázku:
![]() |
Obr. 5. Geometrický význam exponenciální funkce s ryze imaginárním exponentem
|
Protože podle tohoto obrázku je
|
(27) |
tak pro reálnou složku komplexního čísla které je vyjádřené ve složkovém kartézském tvaru, tj.
a které má jednotkový modul, platí
a podobně pro imaginární složku b tohoto komplexního čísla je
Z toho plyne, že hodnoty exponenciální funkce
s ryze imaginárním exponentem jsou v závislosti na hodnotě veličiny j vyjádřeny body na jednotkové kružnici v komplexní rovině.
Pro některé konkrétní hodnoty úhlu je
atd.
Z formule Komplexní čísla (6), resp. Komplexní čísla (26), tj. že resp. z její varianty pro zápornou hodnotu úhlu j, tj.
(při jejím odvození využíváme vlastností sudé funkce kosinus a liché funkce sinus) lze odvodit tzv. Eulerovy vztahy.
Sečtením obou rovnic pro kladnou i zápornou hodnotu fázového úhlu dostáváme
|
(28) |
a z toho pro kosinus platí
|
(29) |
Naopak, odečtením druhé rovnice od první máme
|
(30) |
a proto Eulerův vztah pro sinus je
|
(31) |