3.3 Diskrétní korelační posloupnost

Opět připomeňme vztahy pro výpočet korelace dvou spojitých funkcí a (nebudeme se zde rozptylovat ani případem kovarianční, ani autokorelační funkce, protože už víme, jak všechny tyhle funkce navzájem souvisí). Obecně pro korelační funkci platí (Korelace)

(20)

a za předpokladu stacionarity a ergodicity pro funkce s definičním intervalem platí

a abychom se vyhnuli limitním komplikacím i v podstatě nulovým hodnotám takto určené korelační funkce, využívá se pouze integrální části vztahu, tj.

V případě znalosti funkcí a pouze na konečném intervalu se limitní podmínky zbavujeme přirozenou cestou a je

Určitě pro všechny ze zde připomenutých definicí korelační funkce lze vytvořit jejich diskrétní ekvivalent, protože ale práce s diskrétními posloupnostmi je zpravidla vyvolána potřebou řešit praktické úlohy a ty disponují konečnými posloupnostmi, pak zřejmě nejužitečnější z uvedených vztahů bude odhad korelační posloupnosti pro konečné posloupnosti podle posledního vztahu z výše uvedeného přehledu, tj.

(21)

Ekvivalentně tomu bychom mohli vytvořit vztahy pro odhad diskrétní kovarianční posloupnosti, resp. autokorelační posloupnosti. Odhad diskrétních korelačních posloupností je ale zatížen jinými těžkostmi, proto se teď raději zabývejme jimi, než planým uváděním dalších variant korelační posloupnosti, které jsou jen opakováním téhož definičního principu.

Abychom si co nejnázorněji demonstrovali problém, předpokládejme dvě posloupnosti a téže délky vzorků (obr. Časové řady I 13).

Obr. 13. Schéma výpočtu odhadu diskrétní korelační funkce dvou posloupností téže konečné délky

Obr. Časové řady I 13a zobrazuje situaci pro výchozí polohy obou posloupností, tj. pro V tomto případě je možné spočítat všech dílčích součinů, které se posléze sečtou a podělí tak, jak náleží určení střední hodnoty. Pro (obr. Časové řady I 13b) dojde k posunu posloupnosti o jeden vzorek vůči a za této situace už nelze určit všech dílčích součinů, pouze (pro první vzorek posloupnosti a poslední vzorek posloupnosti už neexistuje korespondující vzorek v druhé posloupnosti) a tudíž dělení výsledku hodnotou pro určení střední hodnoty už není zcela adekvátní. Mezní situace nastává pro posun o vzorků (obr. Časové řady I 13c), kdy existuje už jen jediná dvojice dílčích činitelů. Pro větší posun, tj. již prvky obou posloupností mezi sebou vynásobit nelze – korelační posloupnost není definovaná. Co z tohoto rozboru vyplývá pro odhad korelační posloupnosti? Za daných okolností součet ve vztahu Časové řady I (21) neprobíhá přes sčítanců, nýbrž pouze pro sčítanců. To by znamenalo, že první modifikace vztahu Časové řady I (21) směřuje ke změně sumačních mezí na (tzv. odhad korelační posloupnosti s konstantní vahou)

(22)

kdy se každá hodnota korelační sumy považuje za hodnotu korelační posloupnosti se stejnou vahou, která se rovná převrácené hodnotě celkového počtu vzorků vstupních posloupností a je délka posloupnosti. Střední hodnota tohoto odhadu je (bez důkazu)

(23)

kde je skutečná hodnota korelační posloupnosti. To znamená, že střední hodnota odhadu se nerovná správné hodnotě, ale blíží se jí, když a Platí tedy, že

(24)

odhad je asymptoticky nevychýlený. Odhad rozptylu pro posloupnosti reálných čísel je přibližně

(25)

Protože odhad rozptylu konverguje pro k nule, je odhad korelační posloupnosti  konzistentním odhadem Z praktického hlediska to všechno znamená, že se snižujícím se počtem součinů v korelační sumě se relativně zvyšuje váha, kterou je hodnota součtu násobena a tedy i v případě periodických posloupností není průběh jejich korelační posloupnosti periodický, nýbrž se její kmity tlumí.

Popsanému způsobu výpočtu by zřejmě lépe slušel výpočet střední hodnoty podle vztahu

(26)

Střední hodnota tohoto odhadu s proměnnou vahou je rovna

(27)

což znamená, že je rovna, pro libovolné a skutečné hodnotě korelační posloupnosti. Rozptyl tohoto odhadu

(28)

je však poněkud větší než v případě prvního odhadu. Sumační členy v obou výrazech pro rozptyl jsou stejné, výrazy se liší pouze váhovým koeficientem, který je v případě týž, s růstem hodnoty posunutí m se váhový koeficient ve vztahu Časové řady I (28) oproti vztahu Časové řady I (25) zvětšuje. To samozřejmě odpovídá elementární úvaze založené na myšlence, že s menším počtem sčítanců v korelačním součtu se zvětšuje rozptyl a tím klesá spolehlivost odhadu.

Stejně jako v případu konvoluce, lze za předpokladu periodičnosti obou korelovaných posloupností s periodou vzorků použít výpočtu pomocí kruhové korelace podle vztahu (obr. Časové řady I 14)

		(29)

Tento vztah zachovává konstantní počet vzorků zahrnutých do výpočtu tím, že scházející vzorky na jedné straně posloupnosti doplňuje vzorky z její druhé strany. Střední hodnota odhadu  je rovna stejně jako u jeho rozptyl je naopak týž jako v případě odhadu Na druhé straně cyklické doplňování scházejících vzorků může znamenat, pokud zpracovávané posloupnosti nebudou primárně periodické, vnucení umělé periodicity analyzovaným posloupnostem s periodou rovnou délce zpracovávané posloupnosti a také zachování konstantní pracnosti při výpočtu každého vzorku korelační posloupnosti, zatímco u prvních dvou vzorců dochází s růstem vzájemného posunutí posloupností k lineárnímu snižování pracnosti výpočtu.

Obr. 14. Princip výpočtu kruhové korelace

Obr. 15. Odhad autokorelační funkce pravidelného sinusového signálu EKG s potlačenou komorovou složkou – (a) analyzovaný signál; (b) autokorelační funkce podle Časové řady I (22); (c) autokorelační funkce podle Časové řady I (26); (d) kruhová autokorelační funkce podle vztahu Časové řady I (29). [V grafech autokorelacích funkcí jsou vyznačeny násobky srdeční periody.]

Příklad 3.8. Vypočítejte autokorelační posloupnost pro časovou řadu Výpočet proveďte a) podle vztahu s konstantní vahou; b) s proměnnou vahou; c) pomocí kruhové korelace

Řešení. Autokorelační posloupnost je symetrická vůči počátku, tj. okamžiku kdy má největší hodnotu (toho si lze nejlépe všimnout při výpočtu s konstantní vahou) a nabývá hodnot

Vzhledem k periodičnosti zadané posloupnosti jsou i výsledné autokorelační posloupnosti periodické. V případě výpočtu s konstantní vahou je periodičnost tlumena relativním nárůstem váhy vůči počtu sečtených součinů.