3.3 Frekvenční přenosová funkce a frekvenční charakteristiky

Od abstraktního vyjádření přenosových vlastností lineárních systémů pracujících ve spojitém čase jsme k závislosti přenosových vlastností dané soustavy na frekvenci dospěli substitucí využívající pouze imaginární část komplexní proměnné tj. tj. ze všech hodnot komplexní proměnné nás zajímaly pouze ty, které reprezentují harmonické funkce s jednotkovou amplitudou. Podobně to lze učinit i v případě systémů pracujících s veličinami v diskrétním čase. V tom případě je odpovídající substituce dána vztahem Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase (5) pro tj.

Potom je frekvenční přenosová funkce dané soustavy definovaná (vyjdeme-li z obrazové přenosové funkce podle Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase (24)

(28)

Zatímco u spojitých systémů představovala harmonické funkce imaginární osa v komplexní rovině v případě diskrétních systémů je to podle použitého substitučního vztahu jednotková kružnice v komplexní rovině Z této skutečnosti vyplývá i jeden velice podstatný rozdíl v průběhu frekvenčních přenosových funkci pro spojité systémy a pro diskrétní systémy. Zatímco pro spojitý systém jsou hodnoty frekvenční přenosové funkce obecně různé pro kmitočty z celého definičního oboru u diskrétních systémů je vidět, že díky použité substituci se hodnoty přenosové funkce periodicky opakují s hodnotou argumentu rovnou celočíselným násobkům Je-li argument komplexní exponenciály roven pak opakuje-li se její průběh s úhlovou periodou pak to znamená s úhlovou frekvencí V  periodě je průběh frekvenční přenosové funkce symetrický vůči středu, tj. vůči úhlové frekvenci Totéž samozřejmě platí i pro fázovou frekvenční charakteristiku, pouze s tím rozdílem, že fázová charakteristika je díky způsobu svého výpočtu na rozdíl od modulové charakteristiky funkcí lichou.

Průběh závislosti modulu hodnot frekvenční přenosové funkce na frekvenci nazýváme modulovou frekvenční charakteristikou diskrétního systému, průběh závislosti argumentu hodnot frekvenční přenosové funkce na frekvenci nazýváme fázovou frekvenční charakteristikou. U diskrétních systémů není zvykem vykreslovat frekvenční charakteristiku v komplexní rovině.

Příklad 3.3. Určete průběh frekvenčních charakteristik systému popsaného diferenční rovnicí

Řešení. Obrazová přenosová funkce ze zadané diferenční rovnice je

Z toho

Potom

Pro je modul přenosové funkce roven

Pro liché násobky poloviny vzorkovací frekvence je modul přenosové funkce roven

Průběh vypočtené modulové frekvenční charakteristiky zadaného systému je na následujícím obrázku.

Obr. 1. Modulová frekvenční charakteristika zadaného systému