1.2.1 Deterministické jednorázové funkce

Jednotkový (Diracův¹) impulz, resp. Diracova delta funkce – neformálně je to taková funkce² která je nulová pro všechny hodnoty reálné osy, kromě nuly, kde nabývá (nekonečné) hodnoty.

(19)

a současně platí

(20)

Zjednodušeně lze říci, že jednotkový impulz je velice úzký (limitně s nulovou dobou trvání) a velice vysoký (limitně s nekonečnou výškou) obdélníkový impulz, jehož výška je rovna převrácené hodnotě šířky, tzn. že mohutnost, definovaná plochou, kterou jednotkový impulz ohraničil spolu s časovou osou je jednotková (obr. Modely veličin spojitých v čase I 7a)).

Srozumitelnou představu o vlastnostech Diracova impulzu poskytuje i limita ze vztahu pro normální rozdělení s nulovou střední hodnotou a směrodatnou odchylkou  s jdoucí k nule (viz obr. Modely veličin spojitých v čase I 7b))

a)	b)
Obr. 7. Různá matematické vyjádření jednotkového impulzu a) pomocí aproximace obdélníkem; b) pomocí Gaussovy funkce

(21)

Vzhledem k požadavku formulovaném pomocí vztahu Modely veličin spojitých v čase I (20) platí i

(22)

kde argument delta funkce vyjadřuje posunutí impulzu o hodnotu v kladném směru osy Z tohoto vztahu pak můžeme odvodit podle následujícího postupu

(23)

Tento výsledek lze geometricky interpretovat tak, že plocha vymezená součinem spojité funkce a jednotkového impulzu je rovna hodnotě funkce v tom okamžiku kde se vyskytuje jednotkový impulz. Tato vlastnost se nazývá vzorkovací vlastností jednotkového impulzu (obr. Modely veličin spojitých v čase I 8).

Obr. 8. Vzorkovací vlastnost jednotkového impulzu

Jednotkový skok (Heavisidova³ funkce) (obr. Modely veličin spojitých v čase I 9) je definován vztahem např.

(24)

Poznámka 1.9. Nebývá příliš zvykem v definici použít zkratku „např.“. To se stalo, protože z různých důvodů může činit problémy nekonečná derivace (změna úrovně) v okolí bodu pro Aby se v konkrétních situacích tento problém vyřešil, lze se setkat i s definicemi, které různě řeší otevřenost či uzavřenost intervalů, nad kterými jsou obě úrovně jednotkového skoku definovány. Tedy

(25)

nebo třeba

(26)

Navzdory skutečnosti, že obě funkce jsou v ideálním teoretickém tvaru fyzikálně nerealizovatelné (díky nekonečně rychlým změnám funkční hodnoty), mají velký význam především v experimentální analýze. Představují modely dvou základních způsobů změny experimentálních podmínek. Diracův impulz představuje model krátkodobého stimulu (světlený záblesk při evokování reakce zrakového systému, zvukový stimul (tzv. clic), vojenský povel, …), jednotkový skok reprezentuje trvalou změnu experimentálních podmínek (změna stupně zátěže při zátěžovém vyšetřování kardiorespiračního systému, zavedení nového způsobu terapie, ukončení kouření, apod).

Vzájemný vztah obou funkcí lze matematicky vyjádřit pomocí integrálního vztahu

(27)

a stejně tak i naopak

(28)

Obr. 10. Funkce typu rampa

Pro experimentální účely zajímavou základní funkci je pro lineárně rostoucí funkce, kterou nazýváme funkce typu rampa nebo rampová funkce (obr. Modely veličin spojitých v čase I 10) a která je pomocí jednotkového skoku definována vztahem

(29)

Z toho plyne, že je také

(30)

Rampová funkce tvoří prostředek jak se vypořádat s nekonečně rychlým nárůstem hodnoty ideálního jednotkového skoku pro popis reálných případů, např. (obr. Modely veličin spojitých v čase I 11)

(31)

Obr. 11. Průběh funkce podle vztahu Modely veličin spojitých v čase I (31)

Průběh rampové funkce můžeme zobecnit zavedením polynomů vyšších řádů tak, že obecně můžeme psát

(32)

 

 

---

¹ Paul Adrien Maurice Dirac (*1902, Bristol, V.Británie, +1984 Tallahassee, Florida) britský teoretický fyzik, který se zabýval kvantovou teorií, obecnou teorií relativity a kosmologií. V roce 1933 dostal spolu s Erwinem Schrödingerem Nobelovu cenu za fyziku.

² Z čistě matematického hlediska není Diracův impulz funkcí, protože jakákoliv reálná integrovatelná funkce, která je rovna nule v celém rozsahu argumentu, vyjma jednoho bodu, má integrál roven nule. Matematicky přesnější definice říká, že Diracův impulz není funkce, ale zobecněná funkce nebo funkcionál, zvaný distribuce.

³ Oliver Heaviside (*1850, Londýn; +1925 Torquay, Devon, V.Británie) britský elektrotechnický inženýr, matematik a fyzik, samouk. Významný především pro zavedení komplexní a vektorové analýzy elektrických obvodů, vytvořil nové metody řešení diferenciálních rovnic.