4.2 Zkoumání stability

(22)

4.2.2    Stabilita vůči počátečnímu stavu

Asymptoticky stabilní systém je takový systém, jehož přirozená odezva časem zaniká.

Příklad 4.1. Rozhodněme, zda je stabilní systém popsaný operátorovou přenosovou funkcí

Řešení. Ke zjištění stability použijme pravidlo podle vztahu Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase II (22) a ověřme jaký má tvar impulzní odezva systému. Připomeňme, že pro Laplacův obraz výstupní veličiny platí

kde je obraz vstupní veličiny. Pro Diracův impulz je tedy pro odezvu na jednotkový Diracův impulz, tj. pro impulzní charakteristiku, je

Abychom určili průběh impulzní charakteristiky, stačí spočítat zpětnou Laplacovu transformaci zadané přenosové funkce.

V tabulce laplacovských párů tab. Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase I 3.1 můžeme najít, že obrazu odpovídá časová funkce V našem případě, kdy je impulzní charakteristika zadaného systému Tato funkce je monotónně klesající, pro nabývá hodnoty pro konverguje k nule; její integrál

Podmínka Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase II (22) je splněna, systém je stabilní.

 

Příklad 4.2. Rozhodněme, zda je stabilní systém popsaný operátorovou přenosovou funkcí

Řešení. Abychom mohli použít výše zmíněného vztahu mezi funkcí a jejím Laplacovým obrazem, je potřeba rozložit přenosovou funkci na parciální zlomky, což v tomto případě je

Celkovou impulzní odezvu složíme z časových funkcí, které získáme zpětnou Laplacovou transformací každého z obou dílčích zlomků. S pomocí tab. Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase I 3.1 v předchozí výukové jednotce máme

Zatímco o první funkci můžeme na základě předchozího příkladu konstatovat, že s konverguje k nule, druhá exponenciála roste s časem nade všechny meze. Podmínka daná vztahem Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase II (22) není splněna a systém je proto jako celek nestabilní.

 

Příklad 4.3. Rozhodněme, zda je stabilní systém popsaný operátorovou přenosovou funkcí

Řešení. Zkusme tentokrát použít vztah mezi funkcemi a také uvedený v tabulce laplacovských párů Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase I 3.1. To znamená, že funkci H(p) musíme poněkud modifikovat.

Oba parametry i jsou rovny jedné a impulzní charakteristika je rovna Tentokrát impulzní charakteristika není monotónní, nýbrž je určena tlumenou sinusoidou. Její integrál je opět konečný (laskavý čtenář si jej určitě dokáže spočítat). Proto je podmínka Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase II (22) splněna a systém je rovněž stabilní.

Pól přenosové funkce v příkladu Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase II 4.1 je roven V příkladu Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase II 4.2 má přenosová funkce póly a ve příkladu Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase II 4.3 jsou póly komplexně sdružené s se zápornou reálnou složkou. Pokusme se zvážit, jak bychom mohli této informace použít.

Pól zadané přenosové funkce v prvním příkladu je dán hodnotou je proto roven leží v záporné polorovině komplexní roviny Pro kladnou hodnotu pólu přenosové funkce (takovou jakou má druhý pól ve druhém příkladu), tj. pro zápornou hodnotu parametru a je naopak funkce rostoucí nade všechny meze a integrál její absolutní hodnoty je nekonečný. Ve třetím příkladu je reálná část komplexních pólů opět záporná a systém je zase stabilní.

Všechny tyto situace jsou ilustrací dalšího pravidla pro posouzení stability spojitého lineárního systému, které říká, že nutnou a postačující podmínkou asymptotické stability lineárního spojitého systému je, aby měly všechny jeho póly záporné reálné složky. Pokud má byť jeden pól kladnou reálnou složku, je soustava nestabilní. Leží-li jednoduchý nebo komplexně sdružené póly na imaginární ose roviny je systém tzv. na mezi stability.