1.2.2 Náhodné funkce

Náhodné funkce jsou další důležitou formou neperiodických funkcí. Považujeme je za realizaci nějakého náhodného procesu.

Protože jsou náhodné, nemohou začínat z trvalé nulové úrovně, ani se k ní trvale vrátit. Proto nejsou na nekonečném intervalu absolutně integrovatelné, tj. neplatí, že

(33)

kde je náhodná funkce. Kvůli analýze takových funkcí je velice důležité si tuto skutečnost stále uvědomovat.

V teorii signálů často označujeme náhodné funkce pojmem šum, ve statistice se spíše setkáváme s poněkud obecnějším pojmem variabilita. Díky své náhodné podstatě nemohou být přesně charakterizovány svým průběhem, nýbrž pouze parametry definující vlastnosti šumu v časové, ale např. i ve frekvenční oblasti. Nejčastěji používanou abstrakcí je tzv. bílý šum. Označení bílý vychází z ekvivalence s bílým světlem, které obsahuje rovnoměrně zastoupené složky všech vlnových délek, resp. frekvencí, tedy i barev. Proto podobně i bílý šum zahrnuje rovnoměrně zastoupené složky o všech kmitočtech.

U náhodných funkcí je z hlediska možností podrobnější analýzy důležité i rozložení jejich hodnot, právě tak jako jejich popis pomocí základních parametrů, jako jsou obecné i centrální momenty. Tato problematika je podrobně probírána v jiných předmětech, proto se na tomto místě spokojme pouze s odkazem (Biostatistika pro matematickou biologii).

Při práci s náhodnými procesy a funkcemi jsou ale důležité dva pojmy, bez kterých se v tomto textu neobejdeme - stacionarita¹ a ergodicita².

Definice 1.10. Stacionární náhodný proces je takový, jehož forma chování (jeho pravděpodobnostní struktura, daná např. rozdělením pravděpodobnosti) nezávisí na čase³. Jinak formulováno, stacionární náhodný proces je takový, jehož libovolné pravděpodobnostní charakteristiky nezávisejí na poloze počátku časové osy.

Z praktického hlediska často vnímáme pojem stacionarity v tzv. širším slova smyslu, kdy stačí, aby se s nezávisle proměnnou neměnily pouze statistické momenty 1. a 2. řádu, střední hodnota, rozptyl a autokorelační, resp. autokovarianční funkce.

Definice 1.11. Ergodický náhodný proces je takový, jehož všechny realizace mají tutéž pravděpodobnostní strukturu, tytéž pravděpodobnostní charakteristiky. Pravděpodobnostní charakteristiky pak lze odhadovat z jediné, libovolné realizace náhodného procesu.

Zpravidla požadujeme (je to z hlediska analýzy pohodlnější), aby byl analyzovaný proces jak stacionární, tak i ergodický, ale obecně ergodický proces nemusí být nezbytně i stacionární a samozřejmě i naopak.

¹ stacionarita (lat. stationarius, ze statio – stoj, postoj, místo pobytu, bydliště; původně ze slovesa stare – stát, pevně stát, stát v řadě, stát ve zbrani) – nepohyblivý, neměnný

2 ergodicita (řeč. složenina slov έργον práce a όδος cesta). Slovo bylo zavedeno Boltzmannem při řešení statistických problémů mechaniky. Používal je pro označení dynamických systémů, které zhruba řečeno měly stejné chování v čase i prostoru.

³ Přestože stacionaritu intuitivně vnímáme jako časovou vlastnost procesu, je třeba podotknout, že stacionaritu můžeme chápat jako vlastnost vůči jakékoliv nezávisle proměnné, při zpracování obrazové 2D informace jsou to prostorové souřadnice, atd.