![Logo Matematická biologie](images/logo-matbiol.png)
Vektory, matice a operace s nimi
Vektory budeme chápat jako sloupcové. Budeme je označovat tučnými malými písmeny, jejich složky budeme převážně značit stejným písmenem jako je označen vektor, doplněným dolním indexem, nebo znakem vektoru v kulaté závorce s dolním indexem. Tedy
Symbolem označíme vektor, jehož všechny složky jsou rovny jedné, symbolem
vektor, jehož všechny složky jsou rovny 0,
Matice budeme převážně označovat velkými bezpatkovými písmeny, jejich složky stejným písmenem malým s dvojicí indexů, případně znakem matice v kulatých závorkách s dvojicí indexů; první index je řádkový, druhý sloupcový. Matice typu je
Vektor s složkami (
-rozměrný vektor) je tedy matice typu
Symboly
a
označíme nulovou a jednotkovou matici,
přitom je Kroneckerův symbol. Bude-li potřebné zdůraznit, že nulová nebo jednotková matice je současně čtvercovou maticí dimense
budeme psát
nebo
Součet matic stejného typu je definován po složkách, tj.
|
Násobek matice skalárem je matice
stejného typu,
Pro lineární kombinaci matic stejného typu platí
Také platí
Násobení matic: Násobením matice typu
maticí
typu
(zprava) dostaneme matici
typu
pro jejíž složky platí
Pro násobení matice typu
vektorem
o
složkách platí
Transpozice matice: Matice transponovaná k matici typu
je matice
typu
pro niž platí
Pro násobení matic platí
Skalární součin vektorů o
složkách je definován jako maticový součin
Hadamardův součin matic stejného typu je „součin po složkách“, tj.
Čtvercovou diagonální matici, která má v diagonále složky vektoru značíme
Je tedy
Pro vektory stejné dimenze platí
Kroneckerův součin matic: Nechť matice je typu
a matice
je typu
Jejich Kroneckerův součin
je matice typu
kterou lze blokově zapsat ve tvaru
Například tedy
Operace „poskládá sloupce matice nad sebe“, přesněji: z matice
typu
vytvoří
-rozměrný vektor
kde přitom
označuje celou část z reálného čísla
S využitím operací a
můžeme přepsat součin matice
typu
a
-rozměrného vektoru:
|
||
|
Symbolem označíme matici, jejíž složky jsou absolutními hodnotami složek matice
Podobně
označuje vektor se složkami
Euklidovská norma -rozměrného vektoru
je definována vztahem
součtová (taxíkařská) norma -rozměrného vektoru
je definována vztahem