Zadehova teorie stavové proměnné

Výchozím bodem teorie je pojem abstraktního objektu který interaguje s okolím pomocí stimulů (podnětů, buzení; excitation), které na něho působí, a odezev (response), kterými se projevuje navenek.

Předpokládejme, že stimuly i odezvy lze nějak kvantifikovat. Přesněji: nechť objekt pozorujeme v časovém intervalu kde a stimuly a odezvy objektu v tomto časovém intervalu lze popsat funkcemi a kde a jsou nějaké podmnožiny Banachova prostoru. Pak lze objekt ztotožnit s pozorovanými stimuly a odezvami, tj.

Pro zjednodušení zápisu zavedeme pro podmnožinu Banachova prostoru, pro interval reálných čísel a pro funkci označení

Pak můžeme psát Při tomto pojetí představuje experiment vyvolání určitých stimulů a pozorování odezev objektu

Základním předpokladem je, aby objekt byl  determinovaný¹, tj. aby odezva byla stimulem jednoznačně určena. Požadujeme tedy, aby existovalo zobrazení z množiny do množiny takové, že

symbol označuje potenční množinu (množinu podmnožin) množiny

Funkce a je obtížné získat (pozorovat, měřit), a pokud se to podaří, obtížně se s nimi pracuje. Jedno z nabízejících se zjednodušení spočívá v uvažování okamžitých stimulů a odezev pro Determinovanost objektu by pak znamenala, že existuje zobrazení převádějící stimulus v okamžiku na okamžitou odezvu

Stejný stimulus v různých časových okamžicích však často vyvolá různou odezvu, což znamená, že mezi stimulem a odezvou je nějaká zprostředkující proměnná která se v průběhu času mění. Tato proměnná nemusí být pozorovatelná, může, ale nemusí nějak odpovídat struktuře objektu; představuje jakousi hypotézu o uvažovaném objektu nějak vyjadřuje jeho stav. Nazývá se stavová proměnná.

Stavovou proměnnou chápeme jako funkci času, kde je opět nějaká podmnožina Banachova prostoru. Tato funkce je obecně náhodná, její hodnoty jsou dány rozložením pravděpodobnosti. V tomto textu však budeme uvažovat pouze deterministické objekty, tj. takové, že stavová proměnná má v každém čase nulový rozptyl a proto ji lze považovat za funkci klasickou (nenáhodnou). Na stavovou proměnnou klademe dva požadavky:

1. Odezva v časovém okamžiku je jednoznačně určena stavem a stimulem v tomto čase tj. existuje zobrazení (stimulus-state-response function) takové, že

(1)

2. Stav v nějakém časovém okamžiku je jednoznačně určen stavem v nějakém předchozím čase a stimuly, které objekt od té doby dostal,
   tj. existuje takové zobrazení z množiny do množiny že

(2)

Zobrazení se nazývá přechodová funkce (state-transition function).

Požadavek 1. říká, že ke znalosti objektu stačí znát jeho stav a stimuly, které na něho působí. Je splněn zejména tehdy, když jsou stavové proměnné přímo pozorovatelné. V takovém případě lze okamžitou odezvu přímo ztotožnit se stavem a rovnost Konstrukce modelů (1) má tvar Požadavek 2. je omezující; u skutečných objektů může stav záviset také na historii, tj. hodnotách pro nebo na budoucnosti², tj na hodnotách pro Budeme se tedy zabývat pouze neanticipativními systémy bez paměti.

Rovnice Konstrukce modelů (2) pro neznámou funkci spolu s počáteční podmínkou představuje model časového vývoje objektu Základním problémem matematického modelování je tedy nalezení (nebo konstrukce) přechodové funkce

Speciální třídu modelů tvoří maticové modely. Jsou to modely, pro něž a existuje matice typu taková, že přechodová funkce má tvar

To neznamená, že by funkce byla lineární v první proměnné. Matice může záviset na stavu Je-li navíc pevně zvoleno, dostaneme diskrétní maticový model. Prvky matice pak vyjadřují stimuly, které působí v časovém intervalu na objekt který byl v čase ve stavu Prvky matice tedy závisí na stavu a čase tj. Při vhodné volbě časové jednotky lze dosáhnout toho, že a rovnici Konstrukce modelů (2) lze zapsat ve tvaru

(3)

Časová jednotka se nazývá projekční interval, rovnice Konstrukce modelů (2) se nazývá projekční rovnice.

Pokud závislost matice na čase je nekonstantní, tj. pro nějaký stav existují časy takové, že a mluvíme o maticových modelech s externí variabilitou. Pokud matice skutečně závisí na stavu tj. pro nějaký čas existují stavy takové, že a mluvíme o maticových modelech s interní variabilitou.

¹Determinovaný objekt není totéž, co deterministický. Pozorované funkce a mohou být realizací nějaké náhodné funkce.

²Taková závislost nemusí znamenat porušení kauzality, neboť přechodová funkce nevyjadřuje příčinnost ale pouze funkční závislost.