![Logo Matematická biologie](images/logo-matbiol.png)
Zadehova teorie stavové proměnné
Výchozím bodem teorie je pojem abstraktního objektu který interaguje s okolím pomocí stimulů (podnětů, buzení; excitation), které na něho působí, a odezev (response), kterými se projevuje navenek.
Předpokládejme, že stimuly i odezvy lze nějak kvantifikovat. Přesněji: nechť objekt pozorujeme v časovém intervalu
kde
a stimuly a odezvy objektu v tomto časovém intervalu lze popsat funkcemi
a
kde
a
jsou nějaké podmnožiny Banachova prostoru. Pak lze objekt
ztotožnit s pozorovanými stimuly a odezvami, tj.
Pro zjednodušení zápisu zavedeme pro podmnožinu Banachova prostoru, pro interval
reálných čísel a pro funkci
označení
Pak můžeme psát Při tomto pojetí představuje experiment vyvolání určitých stimulů
a pozorování odezev
objektu
Základním předpokladem je, aby objekt byl determinovaný1, tj. aby odezva byla stimulem jednoznačně určena. Požadujeme tedy, aby existovalo zobrazení
z množiny
do množiny
takové, že
symbol označuje potenční množinu (množinu podmnožin) množiny
Funkce a
je obtížné získat (pozorovat, měřit), a pokud se to podaří, obtížně se s nimi pracuje. Jedno z nabízejících se zjednodušení spočívá v uvažování okamžitých stimulů
a odezev
pro
Determinovanost objektu by pak znamenala, že existuje zobrazení
převádějící stimulus v okamžiku
na okamžitou odezvu
Stejný stimulus v různých časových okamžicích však často vyvolá různou odezvu, což znamená, že mezi stimulem a odezvou je nějaká zprostředkující proměnná která se v průběhu času mění. Tato proměnná nemusí být pozorovatelná, může, ale nemusí nějak odpovídat struktuře objektu; představuje jakousi hypotézu o uvažovaném objektu
nějak vyjadřuje jeho stav. Nazývá se stavová proměnná.
Stavovou proměnnou chápeme jako funkci času, kde
je opět nějaká podmnožina Banachova prostoru. Tato funkce je obecně náhodná, její hodnoty jsou dány rozložením pravděpodobnosti. V tomto textu však budeme uvažovat pouze deterministické objekty, tj. takové, že stavová proměnná má v každém čase
nulový rozptyl a proto ji lze považovat za funkci klasickou (nenáhodnou). Na stavovou proměnnou
klademe dva požadavky:
- Odezva v časovém okamžiku
je jednoznačně určena stavem a stimulem v tomto čase
tj. existuje zobrazení
(stimulus-state-response function) takové, že
|
(1) |
- Stav v nějakém časovém okamžiku je jednoznačně určen stavem v nějakém předchozím čase a stimuly, které objekt od té doby dostal,
tj. existuje takové zobrazeníz množiny
do množiny
že
|
(2) |
Zobrazení se nazývá přechodová funkce (state-transition function).
Požadavek 1. říká, že ke znalosti objektu stačí znát jeho stav a stimuly, které na něho působí. Je splněn zejména tehdy, když jsou stavové proměnné přímo pozorovatelné. V takovém případě lze okamžitou odezvu přímo ztotožnit se stavem a rovnost Konstrukce modelů (1) má tvar Požadavek 2. je omezující; u skutečných objektů může stav
záviset také na historii, tj. hodnotách
pro
nebo na budoucnosti2, tj na hodnotách
pro
Budeme se tedy zabývat pouze neanticipativními systémy bez paměti.
Rovnice Konstrukce modelů (2) pro neznámou funkci spolu s počáteční podmínkou
představuje model časového vývoje objektu
Základním problémem matematického modelování je tedy nalezení (nebo konstrukce) přechodové funkce
Speciální třídu modelů tvoří maticové modely. Jsou to modely, pro něž a existuje matice
typu
taková, že přechodová funkce má tvar
To neznamená, že by funkce byla lineární v první proměnné. Matice
může záviset na stavu
Je-li navíc
pevně zvoleno, dostaneme diskrétní maticový model. Prvky matice
pak vyjadřují stimuly, které působí v časovém intervalu
na objekt
který byl v čase
ve stavu
Prvky matice
tedy závisí na stavu
a čase
tj.
Při vhodné volbě časové jednotky lze dosáhnout toho, že
a rovnici Konstrukce modelů (2) lze zapsat ve tvaru
|
(3) |
Časová jednotka se nazývá projekční interval, rovnice Konstrukce modelů (2) se nazývá projekční rovnice.
Pokud závislost matice na čase
je nekonstantní, tj. pro nějaký stav
existují časy
takové, že
a
mluvíme o maticových modelech s externí variabilitou. Pokud matice
skutečně závisí na stavu
tj. pro nějaký čas
existují stavy
takové, že
a
mluvíme o maticových modelech s interní variabilitou.
1Determinovaný objekt není totéž, co deterministický. Pozorované funkce a
mohou být realizací nějaké náhodné funkce.
2Taková závislost nemusí znamenat porušení kauzality, neboť přechodová funkce nevyjadřuje příčinnost ale pouze funkční závislost.