![Logo Matematická biologie](images/logo-matbiol.png)
Obecnější model difúze
Pro popis struktury populace nyní zvolíme druhou z možností Konstrukce modelů (4). Nebudeme požadovat splnění zjednodušujících předpokladů z oddílu Jednoduchý model difúze a pohyb jedinců mezi lokalitami budeme popisovat podrobněji. Lze totiž předpokládat, že migrace je proces rychlejší než „demografie“.
Budeme si tedy představovat, že během projekčního intervalu dojde k více „migračním událostem“ - přesunům z jedné lokality na jinou; počet „migračních událostí“ během projekčního intervalu označíme Budeme předpokládat, že
Schematicky můžeme nyní znázornit vývoj populace na -té lokalitě pro
obrázkem:
Opuštění předpokladů 2.-4. vede k uvažování pravděpodobnosti, že jedinec -tého stadia opustí
-tou lokalitu a během časového intervalu délky
se dostane na lokalitu
tou. Označme tuto pravděpodobnost
Hodnota
nyní vyjadřuje pravděpodobnost přežití a setrvání jedinců
-tého stadia na
-té lokalitě po „demografické události“. (Ve zjednodušené situaci z oddílu Jednoduchý model difúze je
a
pro
)
Střední množství jedinců -tého stadia na
-té lokalitě po jedné „migrační události“ tedy bude
|
(7) |
čas označuje levý krajní bod projekčního intervalu,
Položme
nyní označuje čtvercovou nulovou matici řádu
Rovnosti Konstrukce modelů (7) můžeme také přepsat maticově:
celkem tedy
Strukturu populace po „migračních událostech“ lze analogicky vyjádřit ve tvaru
|
(8) |
Stejnou úvahou dostaneme, že struktura populace před další „demografickou událostí“ (tj. na konci projekčního intervalu) je
S využitím Konstrukce modelů (8) odtud dostaneme
|
(9) |
Bez předpokladu 1. bude „demografické události“ na každé lokalitě popisovat jiná matice. Označme proto
matici popisující rození a přežívání na -té lokalitě. Stejnou úvahou jako v případě rovnosti Konstrukce modelů (5) odvodíme, že
|
(10) |
Tuto rovnost můžeme přepsat v maticovém tvaru
Označme nyní
Rovnosti Konstrukce modelů (10) pro tedy můžeme zapsat ve tvaru
nebo stručně Odtud a z rovnosti Konstrukce modelů (10) nyní dostaneme model difúze
nebo podrobněji
|
(11) |