Události v životním cyklu

Za životní cyklus jedince považujeme období od narození (vylíhnutí, vyklíčení) do smrti. Události, které ho v té době potkají, mohou být dosažení dospělosti, přeměna do dalšího vývojového stadia, vykvetení, ztráta plodnosti, emigrace, imigrace a podobně. Událost v životním cyklu je vyjádřena jako přechod do jiného i-stavu v průběhu projekčního intervalu, je tedy charakterizována nenulovou složkou v projekční matici V té jsou ovšem zahrnuty také „objevení se“ nových jedinců. Abychom odlišili události v životním cyklu od rození, provedeme dekompozici projekční matice, tj. vyjádříme ji ve tvaru součtu dvou matic, z nichž jedna vyjadřuje přechody mezi jednotlivými i-stavy, druhá reprodukci:

Přitom složka matice je pravděpodobnost, že jedinec z -té třídy přejde během projekčního intervalu do třídy -té; složka matice je střední počet potomků jedince z -té třídy, kteří se během projekčního intervalu objeví ve třídě -té. Poznamenejme, že tříd, v nichž mohou být „noví“ jedinci, může být více. Mohou to být novorozenci na různých lokalitách u metapopulací, dormantní a klíčící semena u rostlin a podobně.

Část populace tvořenou jedinci stejného věku, tj. jedinci „vzniklými“ (narozenými, vylíhnutými, vyklíčenými, ...) ve stejném okamžiku, nazýváme kohorta. Složení kohorty vzniklé v čase je dáno součinem kohorta se vyvíjí jako populace s projekční maticí

Ke třídám, do nichž je populace strukturovaná, přidáme -ní třídu, v níž jsou jedinci mrtví. Zavedeme parametry

vyjadřující pravděpodobnost, že jedinec z -té třídy během projekčního intervalu zemře. Pak lze životní cyklus interpretovat jako Markovův řetězec s maticí pravděpodobností přechodu

O matici je rozumné předpokládat:

• Dominantní vlastní hodnota nezáporné matice je menší než 1, tj. celková velikost populace, v níž „nevznikají“ noví jedinci se v průběhu času zmenšuje.
• Ke každému indexu existuje konečná posloupnost indexů taková, že tj. jedinec z jakékoliv třídy se v konečném čase může dostat do třídy zemřelých, neexistuje nějaká třída nesmrtelných.

Poněvadž platí

takže a řada konverguje. Označme dále

matice se nazývá fundamentální matice uvažovaného Markovova řetězce. Poněvadž

vidíme, že vyjadřuje pravděpodobnost, že jedinec, který byl na počátku ve třídě bude v čase ve třídě Dále z uvedeného výpočtu plyne, že

takže stav je jediným absorbujícím stavem Markovova řetězce.