Matice A ireducibilní a imprimitivní
Podle Perronovy-Frobeniovy věty je v tomto případě a existuje přirozené číslo takové, že pro a pokud Přitom pro Řešení Modely s konstantní projekční maticí (22) rovnice Modely s konstantní projekční maticí (17) přepíšeme na tvar
při zápisu používáme konvenci Platí tedy
(23) |
Vidíme, že řešení projekční rovnice Modely s konstantní projekční maticí (17) s ireducibilní a imprimitivní maticí je tedy pro libovolnou počáteční hodnotu asymptoticky ekvivalentní s funkcí kde
je -periodická funkce.
Nechť je index takový, že Pak a pro vlastní hodnotu platí
tj. vlastní hodnoty a jsou komplexně sdružené. Matice je reálná a proto pro vlastní vektor příslušný k vlastní hodnotě platí
Vektor je tedy vlastním vektorem matice příslušným k vlastní hodnotě Poněvadž existuje konstanta taková, že Podobně lze ukázat, že existuje konstanta taková, že pro levé vlastní vektory a platí Dále platí
Poněvadž počáteční struktura populace je reálný vektor, platí
a dále
symbol označuje reálnou část komplexního čísla (vektoru).
Je-li číslo sudé, pak pro platí
Položme nyní
Poznamenejme, že řeálné vlastní hodnotě matice odpovídá reálný levý i pravý vlastní vektor. Proto je funkce reálná. Dále platí
Vektorovou funkci
nyní přepíšeme na tvar
symbol označuje celou část z reálného čísla Z tohoto vyjádření vidíme, že funkce je reálná.
Pro průměr hodnot -periodické funkce na intervalu délky periody platí
To vzhledem k Modely s konstantní projekční maticí (23) znamená, že pro dostatečně velký čas nezávisle na počáteční struktuře populace (pokud je ovšem alespoň jedna z jejích složek nenulová) roste populace tak, že její velikost kolísá kolem exponenciální funkce a dlouhodobý průměr zastoupení jednotlivých složek je úměrný složkám vlastního vektoru příslušného k dominantní vlastní hodnotě
Populace je opět ergodická a dominantní vlastní hodnotu matice lze opět interpretovat jako Malthusovský koeficient růstu.