![Logo Matematická biologie](images/logo-matbiol.png)
Matice A ireducibilní a imprimitivní
Podle Perronovy-Frobeniovy věty je v tomto případě a existuje přirozené číslo
takové, že
pro
a
pokud
Přitom
pro
Řešení Modely s konstantní projekční maticí (22) rovnice Modely s konstantní projekční maticí (17) přepíšeme na tvar
při zápisu používáme konvenci Platí tedy
|
(23) |
Vidíme, že řešení projekční rovnice Modely s konstantní projekční maticí (17) s ireducibilní a imprimitivní maticí
je tedy pro libovolnou počáteční hodnotu
asymptoticky ekvivalentní s funkcí
kde
je -periodická funkce.
Nechť je index takový, že
Pak
a pro vlastní hodnotu
platí
tj. vlastní hodnoty a
jsou komplexně sdružené. Matice
je reálná a proto pro vlastní vektor
příslušný k vlastní hodnotě
platí
Vektor je tedy vlastním vektorem matice
příslušným k vlastní hodnotě
Poněvadž
existuje konstanta
taková, že
Podobně lze ukázat, že existuje konstanta
taková, že pro levé vlastní vektory
a
platí
Dále platí
Poněvadž počáteční struktura populace je reálný vektor, platí
a dále
|
|
symbol označuje reálnou část komplexního čísla (vektoru).
Je-li číslo sudé, pak pro
platí
Položme nyní
Poznamenejme, že řeálné vlastní hodnotě matice
odpovídá reálný levý i pravý vlastní vektor. Proto je funkce
reálná. Dále platí
Vektorovou funkci
nyní přepíšeme na tvar
|
symbol označuje celou část z reálného čísla
Z tohoto vyjádření vidíme, že funkce
je reálná.
Pro průměr hodnot -periodické funkce
na intervalu délky periody platí
|
|
To vzhledem k Modely s konstantní projekční maticí (23) znamená, že pro dostatečně velký čas nezávisle na počáteční struktuře
populace (pokud je ovšem alespoň jedna z jejích složek nenulová) roste populace tak, že její velikost kolísá kolem exponenciální funkce a dlouhodobý průměr zastoupení jednotlivých složek je úměrný složkám vlastního vektoru
příslušného k dominantní vlastní hodnotě
Populace je opět ergodická a dominantní vlastní hodnotu matice
lze opět interpretovat jako Malthusovský koeficient růstu.