
Asymptotické vlastnosti
Označme řešení projekční rovnice Modely s interní variabilitou (6) s počáteční podmínkou
- Nechť
Množina
se nazývá -limitní množina bodu
vzhledem k rovnici Modely s interní variabilitou (6).
- Nechť
Množina
se nazývá -limitní množina množiny
vzhledem k rovnici Modely s interní variabilitou (6).
- Nechť
je taková množina, že
Pak se nazývá invariantní množina rovnice Modely s interní variabilitou (6).
-
Nechť
je taková invariantní množina rovnice Modely s interní variabilitou (6), že
tj. neexistuje její neprázdná vlastní podmnožina, která by byla invariantní množinou rovnice Modely s interní variabilitou (6). Pak se množina nazývá minimální invariantní množina rovnice Modely s interní variabilitou (6).
Poznámka 3.2. Množina je minimální invariantní množinou rovnice Modely s interní variabilitou (6) právě tehdy, když
Příklad 3.3. Uvažujme rovnici
(8) která je modelem populace strukturované podle plodnosti Prolog (9), v němž plodnost závisí na velikosti populace. Jedná se tedy o možnou stabilizaci velikosti takové populace omezením plodnosti při vysoké populační hustotě. O parametrech budeme předpokládat, že
(juvenilní jedinci mohou přežít a dospět),
(plodní jedinci nejsou nesmrtelní) a
(plodní jedinci nějaké potomky „produkují“). Z těchto předpokladů bezprostředně plyne, že pokud má počáteční podmínka obě složky nezáporné, pak také řešení rovnice Modely s interní variabilitou (8) má obě složky nezáporné pro všechna
Uzavřený první kvadrant
je tedy invariantní množinou rovnice Modely s interní variabilitou (8).
Přímým výpočtem se snadno přesvědčíme, že při počáteční hodnotě
je
pro všechna
Je-li
pak jsou obě složky vektoru
kladné. V takovém případě je tedy množina
invariantní množinou rovnice Modely s interní variabilitou (8). Odtud dále plyne, že množina
v takovém případě není minimální invariantní množinou, neboť má vlastní podmnožinu
která je invariantní. Jednoprvková množina
již minimální invariantní množinou rovnice Modely s interní variabilitou (8) je.
Definice 3.4. (Typy invariantních množin) Minimální invariantní množina rovnice Modely s interní variabilitou (6) se nazývá
- stacionární bod (rovnovážný bod, equilibrium), pokud množina
je jednoprvková;
- cyklus délky (periody)
pokud
je celé číslo větší než 1 a množina
má
prvků;
- invariantní smyčka, pokud množina
je uzavřenou křivkou v prostoru
- podivná, pokud není žádného z předchozích typů.
Vektor je stacionární bod rovnice Modely s interní variabilitou (6) právě tehdy, když pro každý čas
je
tj. vektor
je řešením rovnice
|
(9) |
Odtud je vidět, že nulový vektor je stacionárním bodem rovnice Modely s interní variabilitou (6). Tento stacionární bod nazýváme triviální.
Netriviální stacionární body vyjadřují stálou velikost i složení populace - velikosti jednotlivých tříd se v průběhu času nemění; populace je v dynamické rovnováze se svým prostředím.
Cyklus délky je množina
taková, že
Zejména pro platí
a
stacionární bod
je tedy nenulovým řešením rovnice
Analogicky lze hledat cykly délky větší než 2.
Definice 3.5. (Stabilita stacionárních bodů). Stacionární bod rovnice Modely s interní variabilitou (6) se nazývá
- stabilní, pokud
-
asymptoticky stabilní, pokud
-
globálně asymptoticky stabilní, pokud
- repulsivní, pokud
Poznamenejme, že v definici asymptotické stability stacionárního bodu nepožadujeme stabilitu (na rozdíl od Persidského definice asymptotické stability v teorii obyčejných diferenciálních rovnic).
Nechť je stacionární bod rovnice Modely s interní variabilitou (6) a
je její řešení. Označme
odchylku řešení od stacionárního bodu. Pak
a
|
(10) |
Předpokládejme dále, že odchylka od stacionárního bodu je „malá“ (tj. norma vektoru
je „malá“) a že složky matice
jsou dvakrát spojitě diferencovatelné. Položme
|
(11) |
Z rovnosti Modely s interní variabilitou (10) s využitím Taylorovy věty a rovnosti Modely s interní variabilitou (9) nyní dostaneme
|
|
|
|
|
|
|
pro libovolné Odtud
To znamená, že odchylka od stacionárního bodu
se přibližně vyvíjí jako řešení lineárního homogenního systému diferenčních rovnic s maticí
(která nemusí být nezáporná), tj.
kde je řešení úlohy
pokud je „malá“. Označme
|
(12) |
Je-li pak
tedy
zůstává „malý“ a „malá“ je i odchylka
od stacionárního stavu; v důsledku toho je
což pro řešení rovnice Modely s interní variabilitou (6) s počáteční podmínkou blízko stacionárního bodu
znamená, že
Je-li pak
Provedené úvahy můžeme zformulovat jako větu.
Věta 3.6. Nechť je stacionární bod rovnice Modely s interní variabilitou (6) a matice
je v okolí bodu
dvakrát spojitě diferencovatelná. Definujme matici
rovností Modely s interní variabilitou (11) a číslo
rovností Modely s interní variabilitou (12). Pak platí: je-li
pak je stacionární bod
asymptoticky stabilní, je-li
pak je stacionární bod
repulsivní.
V případě, že projekční matice závisí na váženém součtu složek vektoru
jsou její první parciální derivace ve stacionárním bodě rovny
kde To znamená, že matici
můžeme zapsat ve tvaru
Příklad 3.7. Uvažujme opět rovnici Modely s interní variabilitou (8). Podle výsledků uvedených v předchozím příkladu má tato rovnice stacionární bod
Vyšetříme jeho stabilitu.
Označme
Pak rovnici Modely s interní variabilitou (8) můžeme psát ve tvaru
Dále je
a projekční matice je tedy tvaru
Platí
takže
Nyní můžeme vypočítat
Pro zjednodušení zápisu označíme
a dostaneme vyjádření matice
přitom
Podle věty Modely s interní variabilitou 3.6 k asymptotické stabilitě stacionárního bodu
rovnice Modely s interní variabilitou (8) stačí, aby všechny vlastní hodnoty matice
měly modul menší než 1. Z toho můžeme usoudit1, že kritické hodnoty parametrů jsou takové, kdy má matice
vlastní hodnoty rovny 1 nebo -1.
Charakteristická rovnice matice
je
kde
Pokud
pak
tj.
Odtud vyjádříme
a po dosazení za
dostaneme
takže kritické hodnoty parametrů jsou ty, které vyhovují rovnosti
Pokud
pak
tj.
Odtud vyjádříme
a po dosazení za
Dostáváme tak druhou množinu kritických hodnot parametrů - ty, které vyhovují rovnosti
Jestliže tedy parametry rovnice Modely s interní variabilitou (8) splňují nerovnosti
pak je stacionární bod
rovnice Modely s interní variabilitou (8) asymptoticky stabilní. Ještě si můžeme povšimnout, že na levé straně předchozích nerovností je stejný výraz jako na pravé straně nerovnosti Modely s interní variabilitou (1); můžeme ho tedy interpretovat analogicky.
|
Obr. 4. Rovnovážný bod v rovnici Prolog (9) s interní variabilitou Modely s interní variabilitou (2)-Modely s interní variabilitou (5).
Použité parametry: |
Definice 3.8. (Klasifikace minimálních invariantních množin). Minimální invariantní množina rovnice Modely s interní variabilitou (6) se nazývá
-
stabilní, pokud ke každému okolí
množiny
existuje okolí
množiny
takové, že z
plyne
pro všechna
- atraktor, pokud existuje okolí
množiny
takové, že z
plyne
okolí se nazývá oblast přitažení atraktoru;
-
globální atraktor, pokud množina
je atraktor a celá množina
je jeho oblastí přitažení;
-
repelor pokud existuje okolí
množiny
takové, že ke každému počátečnímu stavu
existuje čas
takový, že
|
Obr. 5. Cyklus periody 4 v rovnici Prolog (9) s interní variabilitou Modely s interní variabilitou (2)-Modely s interní variabilitou (5).
Použité parametry: |
Představu o atraktorech můžeme získat počítačovým experimentem:
- Zvolíme nějakou „dostatečně reprezentativní“ konečnou podmnožinu
oblasti přitažení hledaného atraktoru (například ekvidistantní síť), zvolíme „dostatečně velký“ čas
a „dostatečnou dobu“ projekce
(mělo by platit
).
-
Vezmeme nějaký bod
z množiny
-
Spočítáme řešení
příslušné projekční rovnice až do zvolené hodnoty času
Tak získáme množinu
-
Kroky 2. a 3. provedeme pro všechny hodnoty
-
Numerickým odhadem atraktoru je množina
V případě, že je dimenze projekční rovnice Modely s interní variabilitou (6) rovna dvěma, nebo maximálně třem, můžeme numericky odhadnutý atraktor znázornit geometricky.
|
Obr. 6. Invariantní smyčka v rovnici Prolog (9) s interní variabilitou Modely s interní variabilitou (2)-Modely s interní variabilitou (5).
Použité parametry: |
Příklad 3.9. Podívejme se opět dvojrozměrný model Prolog (9) populace strukturované podle plodnosti. Koeficienty přežívání
![]()
budou konstantní, koeficienty dospívání a plodnosti
a
mohou záviset na velikosti jednotlivých tříd podle rovností Modely s interní variabilitou (4) a Modely s interní variabilitou (5).
V tomto modelu se mohou objevit atraktory, které jsou invariantními množinami všech typů zavedených v definici Modely s interní variabilitou 3.4. Příklady možné volby parametrů pro jednotlivé typy jsou uvedeny v popiscích obrázků Modely s interní variabilitou 4 - Modely s interní variabilitou 7. V případě rovnovážného bodu, cyklu délky 4 a podivného atraktoru se jednalo o stabilizaci populace omezením plodnosti, v případě invariantní smyčky o stabilizaci populace odložením reprodukce při vyšších populačních hustotách.
Z obrázků můžeme vypozorovat: Má-li rovnice atraktor rovnovážný bod, pak všechny složky jejího řešení jsou konvergentními posloupnostmi. Má-li rovnice atraktor cyklus, pak složky řešení projekční rovnice po dostatečně dlouhém čase vypadají jako periodické posloupnosti s periodou délky cyklu. Je-li atraktorem invariantní smyčka, na řešení projekčních rovnic můžeme vidět něco jako amplitudovou modulaci základní frekvence. V případě podivného atraktoru není na řešení projekční rovnice kromě ohraničenosti shora i zdola vidět žádná pravidelnost.
|
Detail atraktoru: |
Obr. 7. Podivný atraktor v rovnici Prolog (9) s interní variabilitou Modely s interní variabilitou (2)-Modely s interní variabilitou (5).
Použité parametry: |
1Tato úvaha je správná jen tehdy, je-li zaručeno, že matice má pouze reálné vlastní hodnoty.