![Logo Matematická biologie](images/logo-matbiol.png)
Věkově strukturovaná dvojpohlavní populace
Uvažujme populaci tvořenou jedinci dvou pohlaví, kteří jsou charakterizováni svým věkem a kteří tvoří poměrně stabilní páry. Páry mohou vznikat nebo se rozpadat, páry mohou plodit potomky, jedinci přežívají nebo umírají. Za časovou jednotku (délku projekčního intervalu) zvolíme takový čas, během kterého může u každého jedince dojít k nejvýše jedné z událostí: vytvoření páru s jedincem opačného pohlaví, rozpad páru v němž byl zapojen, úmrtí. Nechť označuje věk vyjádřený v této časové jednotce, který nemůže samec ani samice překročit.
Označme resp.
množství nespárovaných samic věkové třídy
resp. nespárovaných samců věkové třídy
v čase
Dále označme
množství párů, v nichž samice je z věkové třídy
a samec z věkové třídy
takové páry budeme stručně nazývat „páry typu
“. Při uvedeném označení je celkový počet samic z věkové třídy
resp. samců z věkové třídy
roven
Střední množství potomků, které vyprodukuje pár typu během projekčního intervalu označíme
Dále budeme předpokládat, že mezi novorozenci je konstantní podíl samic
a že novorozenci nejsou spárovaní. Z těchto předpokladů plyne, že množství novorozených samic a samců a množství párů tvořených novorozenci je dáno rovnostmi
|
(2) |
pro každé
Označme dále resp.
pravděpodobnost, že samice věkové třídy
resp. samec věkové třídy
přežije projekční interval,
pravděpodobnost, že se pár typu
během projekčního intervalu rozpadne a oba partneři přežijí (tuto pravděpodobnost můžeme nazvat rozvodovost, divorse rate),
množství párů typu
, které se během projekčního intervalu vytvoří. Budeme předpokládat, že pravděpodobnosti přežití i rozvodovost nezávisí na velikosti ani struktuře populace. Naopak množství nově vzniklých párů závisí přinejmenším na množství a věkovém složení nespárovaných samic a samců, tj.
Tuto funkci nazýváme funkce partnerství, mating function.
Množství nespárovaných samic věkové třídy v čase
je tvořeno těmi, které měly v čase
věk ze třídy
a přežily projekční interval zmenšené o ty, které během projekčního intervalu vytvořily pár s nějakým samcem. K nim přibudou samice, které byly spárovány s nějakým samcem a tento pár se během projekčního intervalu rozpadl nebo jim partner uhynul. Tedy
|
(3) |
pro všechna Podobně pro množství nespárovaných samců platí
|
(4) |
pro všechna
Z párů typu v nichž oba partneři přežijí a které se nerozpadnou po uplynutí projekčního intervalu budou páry typu
K nim se přidají páry vzniklé během projekčního intervalu ze samice věkové třídy
a samce věkové třídy
Tedy
|
(5) |
pro všechna
Model vývoje uvažované populace je zapsán rovnicemi Modely dvojpohlavní populace (2), Modely dvojpohlavní populace (3), Modely dvojpohlavní populace (4), Modely dvojpohlavní populace (5). Přitom primární poměr pohlaví , párově specifické plodnosti
věkově specifické koeficienty přežívání
a
a rozvodovost
splňují nerovnosti
pro všechna
Podmíněná pravděpodobnost, že pár typu se během projekčního intervalu rozpadne za podmínky, že oba partneři přežijí, je dána výrazem
pokud jinak položíme
Pro podmíněnou rozvodovost
platí
Rovnice Modely dvojpohlavní populace (3), Modely dvojpohlavní populace (4), Modely dvojpohlavní populace (5) můžeme při tomto označení přepsat na tvar
|
||
|
||
|