Citlivost a pružnost růstového koeficientu

Nechť je vlastní hodnota matice resp. je pravý, resp. levý, vlastní vektor příslušný k vlastní hodnotě . Rovnost zderivujeme podle vynásobíme zleva vektorem a upravíme pomocí vztahu Tímto způsobem dostaneme

tedy

(28)

V případě, že matice je ireducibilní, je dominantní vlastní hodnota projekční matice (Malthusovský koeficient růstu), a jsou pravý a levý vlastní vektor příslušný k dominantní vlastní hodnotě, které splňují rovnost dostaneme

Nyní můžeme položit a definovat matici citlivosti růstového koeficientu   na složky projekční matice jako

Matice citlivosti vyjadřuje vliv změn populačních prametrů na růstový koeficient. A to včetně změn těch parametrů. které se v reálné populaci měnit nemohou, neboť jsou nutně nulové (např. nelze přeskočit některé vývojové stadium hmyzu). Citlivost tedy vyjadřuje, co by se stalo, kdyby se jistý parametr změnil nebo mohl změnit. I tento hypotetický výsledek může být v některých situacích zajímavý (např. jaký vliv na evoluční zdatnost populace by měla mutace způsobující přechod ze stadia larvy přímo v dospělce bez stadia kukly).

Pružnost růstového koeficientu vzhledem ke složce je nyní dána rovností

matice pružnosti růstového koeficientu je definována jako

kde označuje Hadamardův součin matic (součin „po složkách“).

Lemma 2.4. (Eulerova věta o homogenních funkcích) Je-li funkce homogenní řádu tj.

(29)

pro libovolnou konstantu pak

Důlkaz. Rovnost Modely s konstantní projekční maticí (29) zderivujeme podle tj.

Poněvadž stačí položit abychom dostali dokazovanou rovnost.

Pro růstový koeficient platí a také pro libovolnou konstantu To znamená, že -násobek vlastní hodnoty je vlastní hodnotou matice

jinak řečeno, růstový koeficient je homogenní funkcí řádu 1 složek projekční matice Podle Eulerovy věty o homogenních funkcích tedy platí

Z tohoto důvodu bývá pružnost růstového koeficientu vzhledem ke složce interpretována jako relativní příspěvek složky projekční matice k růstovému koeficientu.