Jednoduchý model difúze

Vyjdeme ze zjednodušujících předpokladů:

1. Jednotlivé lokality jsou stejně kvalitní, tj. „demografické parametry“ jsou na všech stejné.

2. Pravděpodobnost emigrace z lokality závisí pouze na stadiu emigrujícího jedince, nikoliv na lokalitě.

3. Pravděpodobnost, že migrující jedinec přežije cestu závisí pouze na výchozí a cílové lokalitě, nikoliv na stadiu jedince.

4. Emigrace a přežití při migraci jsou jevy stochasticky nezávislé.

Velikosti částí populace budeme vyjadřovat v časech Pro popis struktury populace zvolíme první z možností Konstrukce modelů (4). Dále budeme pro jednoduchost předpokládat, že k „demografické události“, tj. k rození, k přechodu mezi stadii nebo k úmrtí, dochází bezprostředně po uvedených časech, nebo realističtěji řečeno, v časových intervalech kde je kladné malé číslo. K difúzi bude poté docházet v průběhu časových intervalů

Označme velikost části populace tvořené jedinci -tého stadia na -té lokalitě v čase tedy bezprostředně po „demografické události“. Vývoj populace tedy můžeme schematicky vyjádřit následujícím obrázkem.

Přitom červené úsečky vyjadřují „demografické události“, zelené difúzi.

Nechť „demografické události“ na každé z lokalit popisuje matice To znamená, že

(5)

pro každé a každé tedy

přitom označuje nulovou a jednotkovou čtvercovou matici řádu

Označme dále pravděpodobnost, že jedinec -tého stadia opustí svou lokalitu a pravděpodobnost, že jedinec, který opustil -tou lokalitu se do konce projekčního intervalu dostane na -tou, ; při tomto označení musí platit

(tento součet vyjadřuje pravděpodobnost, že jedinec, který opustil -tou lokalitu, migraci přežije a dostane se na nějakou jinou lokalitu). Pravděpodobnost, že jedinec -tého stadia opustí -tou lokalitu a skončí na -té je tedy podle předpokladu 4. rovna   Položme (s tímto označením je ) a

Po „demografické události“ dojde během projekčního intervalu k „dispersní události“. Velikost subpopulace tvořené jedinci -tého stadia na -té lokalitě na konci projekčního intervalu (neboli na začátku následujícího projekčního intervalu) před další „demografickou událostí“ bude sestávat z těch jedinců -tého stadia, kteří na -té lokalitě byli na začátku uvažovaného projekčního intervalu a neemigrovali z ní (střední velikost takové subpopulace je ), a z těch jedinců, kteří na -tou lokalitu během projekčního intervalu imigrovali z ostatních lokalit (střední velikost takové subpopulace je ). Tedy s využitím Konstrukce modelů (5) dostaneme

To znamená, že

a dále

Odtud vidíme, že model difúze populace lze zapsat ve tvaru

nebo podrobněji

(6)