Řešení projekční rovnice

Budeme řešit projekční rovnici

(17)

s konstantní projekční maticí typu Předpokládejme, že známe počáteční strukturu populace Pak platí

atd. Obecně a tedy

(18)

Přímým dosazením do rovnice Modely s konstantní projekční maticí (17) se lze přesvědčit, že dané rovností Modely s konstantní projekční maticí (18) je skutečně řešením projekční rovnice Modely s konstantní projekční maticí (17).

Dále budeme předpokládat, že matice v rovnici Modely s konstantní projekční maticí (17) má různých vlastních hodnot. Z hlediska aplikací tento předpoklad není omezující. Aby totiž matice měla násobnou vlastní hodnotu, musí její prvky splňovat určitou rovnost. Jinak řečeno, množina všech matic typu majících násobné vlastní hodnoty tvoří varietu dimenze menší než v prostoru poněvadž -rozměrná míra takové variety je nulová, je (geometrická) pravděpodobnost jevu, že matice bude mít násobné vlastní hodnoty, také nulová.

Nechť různé vlastní hodnoty projekční matice jsou uspořádány tak, že

poněvadž matice je nezáporná platí   a tedy Označme vlastní vektor matice příslušný k vlastní hodnotě Z předpokládané různosti vlastních hodnot plyne, že vektory tvoří bázi prostoru Existují tedy konstanty takové, že

Dosazením tohoto vyjádření do rovnosti Modely s konstantní projekční maticí (18) dostaneme

Dostáváme tedy řešení rovnice Modely s konstantní projekční maticí (17) ve tvaru

(19)

Položme nyní

je matice, jejíž sloupce jsou vlastní vektory matice je diagonální matice s vlastními hodnotami matice na diagonále. Pak platí

(20)

Poněvadž sloupce matice tvoří bázi prostoru jsou lineárně nezávislé a tedy matice je regulární. Z předchozí rovnosti proto dostaneme

(21)

dále a po transpozici

symbol označuje matici Porovnáním s rovností Modely s konstantní projekční maticí (20) vidíme, že sloupce matice jsou vlastní vektory transponované matice která má stejné vlastní hodnoty jako původní matice . Je-li tedy pak

neboli

jinak řečeno, řádky matice jsou transponované levé vlastní vektory matice . Platí tedy

Označme nyní Vyjádření matice ve tvaru Modely s konstantní projekční maticí (21) nyní dosadíme do řešení Modely s konstantní projekční maticí (18) rovnice Modely s konstantní projekční maticí (17):

Dostáváme tedy stejné vyjádření řešení rovnice Modely s konstantní projekční maticí (17) jako bylo v rovnosti Modely s konstantní projekční maticí (19). Navíc ale vidíme, že pro konstanty platí Provedené úvahy lze shrnout do věty:

Věta 2.1. Nechť nezáporná matice má různé vlastní hodnoty takové, že

Označme resp. (pravý) vlastní vektor, resp levý vlastní vektor, matice příslušný k vlastní hodnotě Nechť vektory jsou takové, že Pak řešení projekční rovnice Modely s konstantní projekční maticí (17) je tvaru

(22)

kde

Poznamenejme, že z předpokladu různosti vlastních hodnot plyne, že V opačném případě by totiž bylo Pro ireducibilní matici podle Perronovy-Frobeniovy věty (aplikované na matici ) platí pro ireducibilní matici nerovnost Má-li tedy počáteční struktura populace v takovém případě alespoň jednu složku nenulovou (tj. je-li populace na začátku sledování přítomna), pak je

Řekneme, že rovnice Modely s konstantní projekční maticí (17) je ergodická, pokud průběh jejího řešení v okolí nekonečna (tj. pro dostatečně velké ) nezávisí na počáteční podmínce Populaci, jejíž vývoj je popsán ergodickou rovnicí, nazveme také ergodickou.