![Logo Matematická biologie](images/logo-matbiol.png)
Řešení projekční rovnice
Budeme řešit projekční rovnici
|
(17) |
s konstantní projekční maticí typu
Předpokládejme, že známe počáteční strukturu populace
Pak platí
atd. Obecně a tedy
|
(18) |
Přímým dosazením do rovnice Modely s konstantní projekční maticí (17) se lze přesvědčit, že dané rovností Modely s konstantní projekční maticí (18) je skutečně řešením projekční rovnice Modely s konstantní projekční maticí (17).
Dále budeme předpokládat, že matice v rovnici Modely s konstantní projekční maticí (17) má
různých vlastních hodnot. Z hlediska aplikací tento předpoklad není omezující. Aby totiž matice
měla násobnou vlastní hodnotu, musí její prvky splňovat určitou rovnost. Jinak řečeno, množina všech matic typu
majících násobné vlastní hodnoty tvoří varietu dimenze menší než
v prostoru
poněvadž
-rozměrná míra takové variety je nulová, je (geometrická) pravděpodobnost jevu, že matice
bude mít násobné vlastní hodnoty, také nulová.
Nechť různé vlastní hodnoty projekční matice
jsou uspořádány tak, že
poněvadž matice je nezáporná platí
a tedy
Označme
vlastní vektor matice
příslušný k vlastní hodnotě
Z předpokládané různosti vlastních hodnot plyne, že vektory
tvoří bázi prostoru
Existují tedy konstanty
takové, že
Dosazením tohoto vyjádření do rovnosti Modely s konstantní projekční maticí (18) dostaneme
Dostáváme tedy řešení rovnice Modely s konstantní projekční maticí (17) ve tvaru
|
(19) |
Položme nyní
je matice, jejíž sloupce jsou vlastní vektory matice
je diagonální matice s vlastními hodnotami matice
na diagonále. Pak platí
|
(20) |
Poněvadž sloupce matice tvoří bázi prostoru
jsou lineárně nezávislé a tedy matice
je regulární. Z předchozí rovnosti proto dostaneme
|
(21) |
dále a po transpozici
symbol označuje matici
Porovnáním s rovností Modely s konstantní projekční maticí (20) vidíme, že sloupce matice
jsou vlastní vektory transponované matice
která má stejné vlastní hodnoty jako původní matice
. Je-li tedy
pak
neboli
jinak řečeno, řádky matice jsou transponované levé vlastní vektory matice
. Platí tedy
Označme nyní Vyjádření matice
ve tvaru Modely s konstantní projekční maticí (21) nyní dosadíme do řešení Modely s konstantní projekční maticí (18) rovnice Modely s konstantní projekční maticí (17):
|
|
|
Dostáváme tedy stejné vyjádření řešení rovnice Modely s konstantní projekční maticí (17) jako bylo v rovnosti Modely s konstantní projekční maticí (19). Navíc ale vidíme, že pro konstanty platí
Provedené úvahy lze shrnout do věty:
Věta 2.1. Nechť nezáporná matice má různé vlastní hodnoty
takové, že
Označme resp.
(pravý) vlastní vektor, resp levý vlastní vektor, matice
příslušný k vlastní hodnotě
Nechť vektory
jsou takové, že
Pak řešení projekční rovnice Modely s konstantní projekční maticí (17) je tvaru
|
(22) |
kde
Poznamenejme, že z předpokladu různosti vlastních hodnot plyne, že V opačném případě by totiž bylo
Pro ireducibilní matici
podle Perronovy-Frobeniovy věty (aplikované na matici
) platí pro ireducibilní matici
nerovnost
Má-li tedy počáteční struktura populace
v takovém případě alespoň jednu složku nenulovou (tj. je-li populace na začátku sledování přítomna), pak je
Řekneme, že rovnice Modely s konstantní projekční maticí (17) je ergodická, pokud průběh jejího řešení v okolí nekonečna (tj. pro dostatečně velké ) nezávisí na počáteční podmínce
Populaci, jejíž vývoj je popsán ergodickou rovnicí, nazveme také ergodickou.