Jedná se o model populace strukturované do tří věkových tříd, pravděpodobnost přežití z první věkové třídy do druhé je a pravděpodobnost přežití ze druhé třídy do třetí je Během projekčního intervalu vyprodukují jedinci ze druhé třídy živého potomka a jedinci ze třetí třídy živých potomků.

Aplikujte projekční matici na počáteční populační vektor

(41)

Zobrazte vývoj jednotlivých věkových tříd během 15 časových intervalů a během 50 časových intervalů; ve druhém případě použijte na svislé ose logaritmickou stupnici. Dále zobrazte průběh relativního zastoupení jednotlivých tříd v celkové populaci pro stejné hodnoty času.

Vliv počátečních podmínek. Zobrazte vývoje celkové velikosti populace a vývoj relativního zastoupení jednotlivých tříd v celkové populaci pro 10 náhodně zvolených počátečních vektorů o celkové velikosti pro 50 časových kroků. Pro celkovou velikost populace volte na svislé ose logaritmickou stupnici.
Vliv změny projekční matice. Zobrazte průběh celkové velikosti populace s maticí a počátečním vektorem Modely s konstantní projekční maticí (41) pro 40 časových kroků. Poté postupně zmenšujte jednotlivé nenulové prvky projekční matice o 10% jeho velikosti a zobrazte průběh celkové velikosti populace s takto změněnou maticí a stejným počátečním vektorem. Na svislé ose volte logaritmickou stupnici.
Vliv náhodných perturbací parametrů. Uvažujte model s časově závislou projekční maticí

kde je realizace náhodné veličiny, která nabývá hodnot 2 (v příznivých obdobích mají jedinci velkou plodnost) a (v nepříznivých obdobích se plodnost redukuje) se stejnou pravděpodobností. Proveďte více simulací (alespoň 20) vývoje celkové velikosti populace s počátečním vektorem Modely s konstantní projekční maticí (41) a pro každý čas vypočítejte průměr a rozptyl ze všech simulovaných hodnot. Zobrazte průběh této průměrné velikosti populace a jejího rozptylu. (Na svislé ose volte logaritmickou stupnici a vývoj počítejte aspoň pro 60 časových kroků.)

Vliv velikosti populace. Uvažujte model s projekční maticí závislou na populačním vektoru

kde je celková velikost populace a (velká populace spotřebovává více zdrojů a tím zmenšuje plodnost).
Nejprve zvolte a zobrazte průběh velikosti populace pro 20 náhodně zvolených počátečních vektorů (nemusí být splněna podmínka jednotkové počáteční velikosti populace). Opět volte na svislé ose logaritmickou stupnici a vývoj počítejte pro alespoň 150 časových kroků.
Zvolte a zobrazte vývoj celkové velikosti populace s počátečním vektorem Modely s konstantní projekční maticí (41) postupně pro Stupnici na svislé ose tentokrát volte rovnoměrnou.

Cvičení 2. Uvažujme tři projekční matice pro věkově strukturovanou populaci

Pro všechny tyto matice vypočítejte růstový koeficient (dominantní vlastní číslo) a stabilizovanou věkovou strukturu Dále pro ně spočíteje vzdálenosti a zavedené v Vzdálenost od stabilizované struktury vektoru od stabilizované věkové struktury příslušné populace.

Cvičení 3. Pro následující populace vypočítejte růstový koeficient stabilizovanou strukturu populace a reproduktivní hodnoty jednotlivých tříd Dále vypočítejte koeficient tlumení, citlivosti růstového koeficientu na jednotlivé složky projekční matice a pružnosti tohoto koeficientu vzhledem k jednotlivým složkám projekční matice. Analyzujte události v životním cyklu jednotlivých populací.

a.	Populace amerických žen mladších než 50 let byla v roce 1971 rozdělena do věkových tříd po pěti letech. Pro jednotlivé třídy byly určeny plodnosti a pravděpodobnosti přežívání :

	N. Keyfitz, W. Flieger. Population: facts and methods of demography. W. H. Freeman, San Francisco, CA, 1971

Populaci samic kosatky dravé (Orcinus orca) lze rozdělit do čtyř tříd: novorozenci, mladé, dospělé a postmenopauzní samice. Vývoj populace je popsán projekční maticí

Délka projekčního intervalu je jeden rok. (S. Brault, H. Caswell. Pod-specific demography of killer whales (Orcinus orca). Ecology, 74:1444-1454, 1993.)

Populaci karety obecné (Caretta caretta) lze rozdělit do sedmi tříd: 1 - vajíčka, 2 - malé juvenilní, 3 - velké juvenilní, 4 - subadultní, 5 - poprvé plodící, 6 - jednoroční remigranti, 7 - dospělé. Z dat, která byla sbírána více než dvacet let na ostrově Little Cumberland, Georgia, USA, byla získána projekční matice pro projekční interval populace délky jednoho roku:

(D. T. Crouse, L. B. Crowder, H. Caswell. A stage-based population model for loggerhead sea turtles and implications for conservation. Ecology, 68:1412-1423, 1987.)

d.	Populaci štětky lesní (Dipsacus sylvestris) lze rozdělit do šesti tříd: 1 - semena dormantní jeden rok, 2 - semena dormantní dva roky, 3 - malé růžice, 4 - střední růžice, 5 - velké růžice, 6 - kvetoucí rostlina. Vývoj populace je pro projekční interval 1 rok popsán projekční maticí:
	(P. A. Werner, H. Caswell. Population growth rates and age versus stage distribution models for teasel (Dipsacus sylvestris Huds.). Ecology 58:1103--1111, 1977.)

Cvičení 4. Události v životním cyklu věkově strukturované populace odvoďte metodami popsanými v oddílu Události v životním cyklu a výsledky porovnejte s výsledky oddílu Analýza věkově strukturované populace.

vytvořil Institut biostatistiky a analýz Lékařské fakulty Masarykovy univerzity