
Úlohy k procvičení
Cvičení 1. Uvažujte model s projekční maticí
Jedná se o model populace strukturované do tří věkových tříd, pravděpodobnost přežití z první věkové třídy do druhé je a pravděpodobnost přežití ze druhé třídy do třetí je
Během projekčního intervalu vyprodukují jedinci ze druhé třídy
živého potomka a jedinci ze třetí třídy
živých potomků.
- Aplikujte projekční matici
na počáteční populační vektor
|
(41) |
Zobrazte vývoj jednotlivých věkových tříd během 15 časových intervalů a během 50 časových intervalů; ve druhém případě použijte na svislé ose logaritmickou stupnici. Dále zobrazte průběh relativního zastoupení jednotlivých tříd v celkové populaci pro stejné hodnoty času.
- Vliv počátečních podmínek. Zobrazte vývoje celkové velikosti populace a vývoj relativního zastoupení jednotlivých tříd v celkové populaci pro 10 náhodně zvolených počátečních vektorů
o celkové velikosti
pro 50 časových kroků. Pro celkovou velikost populace volte na svislé ose logaritmickou stupnici.
- Vliv změny projekční matice. Zobrazte průběh celkové velikosti populace s maticí
a počátečním vektorem Modely s konstantní projekční maticí (41) pro 40 časových kroků. Poté postupně zmenšujte jednotlivé nenulové prvky projekční matice
o 10% jeho velikosti a zobrazte průběh celkové velikosti populace s takto změněnou maticí a stejným počátečním vektorem. Na svislé ose volte logaritmickou stupnici.
- Vliv náhodných perturbací parametrů. Uvažujte model s časově závislou projekční maticí
kde je realizace náhodné veličiny, která nabývá hodnot 2 (v příznivých obdobích mají jedinci velkou plodnost) a
(v nepříznivých obdobích se plodnost redukuje) se stejnou pravděpodobností. Proveďte více simulací (alespoň 20) vývoje celkové velikosti populace s počátečním vektorem Modely s konstantní projekční maticí (41) a pro každý čas vypočítejte průměr a rozptyl ze všech simulovaných hodnot. Zobrazte průběh této průměrné velikosti populace a jejího rozptylu. (Na svislé ose volte logaritmickou stupnici a vývoj počítejte aspoň pro 60 časových kroků.)
- Vliv velikosti populace. Uvažujte model s projekční maticí závislou na populačním vektoru
kde je celková velikost populace a
(velká populace spotřebovává více zdrojů a tím zmenšuje plodnost).
Nejprve zvolte a zobrazte průběh velikosti populace pro 20 náhodně zvolených počátečních vektorů (nemusí být splněna podmínka jednotkové počáteční velikosti populace). Opět volte na svislé ose logaritmickou stupnici a vývoj počítejte pro alespoň 150 časových kroků.
Zvolte a zobrazte vývoj celkové velikosti populace s počátečním vektorem Modely s konstantní projekční maticí (41) postupně pro
Stupnici na svislé ose tentokrát volte rovnoměrnou.
Cvičení 2. Uvažujme tři projekční matice pro věkově strukturovanou populaci
|
|
|
Pro všechny tyto matice vypočítejte růstový koeficient (dominantní vlastní číslo) a stabilizovanou věkovou strukturu Dále pro ně spočíteje vzdálenosti
a
zavedené v Vzdálenost od stabilizované struktury vektoru
od stabilizované věkové struktury příslušné populace.
Cvičení 3. Pro následující populace vypočítejte růstový koeficient stabilizovanou strukturu populace
a reproduktivní hodnoty jednotlivých tříd
Dále vypočítejte koeficient tlumení, citlivosti růstového koeficientu
na jednotlivé složky projekční matice a pružnosti tohoto koeficientu vzhledem k jednotlivým složkám projekční matice. Analyzujte události v životním cyklu jednotlivých populací.
a. | Populace amerických žen mladších než 50 let byla v roce 1971 rozdělena do věkových tříd po pěti letech. Pro jednotlivé třídy |
|
|
N. Keyfitz, W. Flieger. Population: facts and methods of demography. W. H. Freeman, San Francisco, CA, 1971 |
b. |
Populaci samic kosatky dravé (Orcinus orca) lze rozdělit do čtyř tříd: novorozenci, mladé, dospělé a postmenopauzní samice. Vývoj populace je popsán projekční maticí
|
![]() |
Délka projekčního intervalu je jeden rok. (S. Brault, H. Caswell. Pod-specific demography of killer whales (Orcinus orca). Ecology, 74:1444-1454, 1993.) |
c. |
Populaci karety obecné (Caretta caretta) lze rozdělit do sedmi tříd: 1 - vajíčka, 2 - malé juvenilní, 3 - velké juvenilní, 4 - subadultní, 5 - poprvé plodící, 6 - jednoroční remigranti, 7 - dospělé. Z dat, která byla sbírána více než dvacet let na ostrově Little Cumberland, Georgia, USA, byla získána projekční matice pro projekční interval populace délky jednoho roku:
|
![]() |
|
d. |
Populaci štětky lesní (Dipsacus sylvestris) lze rozdělit do šesti tříd: 1 - semena dormantní jeden rok, 2 - semena dormantní dva roky, 3 - malé růžice, 4 - střední růžice, 5 - velké růžice, 6 - kvetoucí rostlina. Vývoj populace je pro projekční interval 1 rok popsán projekční maticí: |
![]() |
(P. A. Werner, H. Caswell. Population growth rates and age versus stage distribution models for teasel (Dipsacus sylvestris Huds.). Ecology 58:1103--1111, 1977.) |
Cvičení 4. Události v životním cyklu věkově strukturované populace odvoďte metodami popsanými v oddílu Události v životním cyklu a výsledky porovnejte s výsledky oddílu Analýza věkově strukturované populace.