Metoda maximální věrohodnosti
Stejně jako u regresních metod budeme předpokládat, že pozorované složení populace v čase je projekcí jejího složení v čase
a náhodné odchylky. Nyní však budeme předpokládat, že náhodná odchylka je multiplikativní,
|
|
(3) |
O chybách budeme předpokládat, že v jednom každém časovém okamžiku jsou realizací náhodného vektoru z -rozměrného normálního rozdělení se střední hodnotou
a varianční maticí
|
|
(4) |
a že jsou v jednotlivých časových okamžicích nezávislé, tj. a
jsou nezávislé náhodné vektory pro
Poznamenejme, že varianční matice
nemusí být diagonální; např. podmínky, které jsou dobré pro mladé jedince, mohou být dobré i pro staré nebo naopak.
Dále budeme předpokládat, že všechny pozorované hodnoty jsou kladné. Můžeme je tedy zlogaritmovat, tj. položit
neboli
Poněvadž podle Identifikace parametrů modelu (3) platí
je při daných hodnotách vektor
realizací náhodného vektoru z
-rozměrného normálního rozdělení se střední hodnotou
|
|
(5) |
a varianční maticí Z předpokládané nezávislosti chyb v různých časových okamžicích nyní plyne, že věrohodnostní funkce je tvaru
|
|
|
Odtud dostaneme
|
|
|
Poněvadž první člen, tj. výraz nezávisí na matici
ani na matici
, můžeme maximálně věrohodný odhad parametrů, tj. složek matic
a
vypočítat jako
kde složky vektorů jsou dány rovnostmi Identifikace parametrů modelu (5) (a závisí tedy na matici
). Minimum hledáme
nějakou iterační metodou, jako výchozí aproximaci můžeme použít odhad Identifikace parametrů modelu (2).
Pokud jsou pozorované hodnoty získány opakovaným měřením, můžeme spočítat jejich výběrový rozptyl, varianční matici
nahradit výběrovou kovarianční maticí
a odhadovat pouze složky matice
Ještě poznamenejme, že předpoklad o nezávislosti náhodných odchylek od deterministického modelu v jednotlivých časových okamžicích je dost silný, ve skutečné populaci nemusí být splněn; např. pokud byla populace v jednom časovém okamžiku díky příznivým podmínkám v dobrém fyziologickém stavu, může být její růst do dalšího okamžiku větší než obvykle, i když podmínky se nezávisle změní na nějaké méně příznivé.
