Modely s konstantní projekční maticí

Tato kapitola je pro studium maticových populačních modelů nejdůležitější.

1. Nejprve si na příkladu modelu populace strukturované do dvou reprodukčních stadií známého z Prologu podrobně propočítáte, jaké kvalitativní vlastnosti může řešení příslušné projekční rovnice mít.

2. Uvědomíte si, že všechny matice vystupující v populačních modelech jsou nezáporné. Při tom si vzpomenete na Perronovu-Frobeniovu teorii nezáporných matic, kterou důvěrně znáte z lineární algebry; pokud jste ji však pozapomněli, osvěžíte si své znalosti pomocí Dodatku tohoto textu. Potom:

   1. Snadným výpočtem zjistíte, že chování řešení maticového modelu, zejména otázka přežití nebo extinkce modelované populace, je určeno dominantní vlastní hodnotou projekční matice.

   2. Podrobně si rozeberete chování řešení pro všechny tři typy nezáporných matic. Uvidíte, že limitní tvar řešení pro primitivní matice nezávisí na počátečních podmínkách a pro imprimitivní a ireducibilní matice závisí na počátečních podmínkách „málo“. Modely s konstantními maticemi (autonomní modely) tedy jsou ergodické.

   3. Dominantní vlastní hodnotu budete interpretovat jako růstový koeficient, tj. rychlost růstu populace.

   4. Levé a pravé vlastní vektory příslušné k dominantní vlastní hodnotě budete interpretovat jako stabilizovanou strukturu populace a reprodukční hodnotu jednotlivých tříd populace.

3. Naučíte se používat další kvantitativní charakteristiky populace -

   1. rychlost konvergence ke stabilizované struktuře a tlumení oscilací kolem ní,

   2. vzdálenost od stabilizované struktury,

   3. setrvačnost populace

a promyslíte si, jak populaci charakterizují.

4. Seznámíte se s hodnocením vlivu změny parametrů modelu na důležité populační charakteristiky, tj. budete provádět perturbační analýzu modelů.

   1. Rozlišíte citlivost charakteristiky na změnu parametru a pružnost charakteristiky vzhledem ke změnám parametru.

   2. Podrobně se naučíte počítat citlivost a pružnost růstového koeficientu populace.

5. Dosavadní zvládnutou teorii modelů s konstantní maticí budete aplikovat na Leslieho model růstu populace. Přitom si uvědomíte, že maticový model umožňuje kvantifikaci stochastických vlastností populace - očekávanou dobu dožití a očekávaný věk při úmrtí jedince, a zavedení další charakteristiky populace - čisté míru reprodukce. Jako bonus získáte poznatek, že zvýšení průměrného věku signalizuje vymírání populace.
    
6. Pravděpodobnostní úvahy provedené pro konkrétní model věkově strukturované populace zopakujete v obecné situaci.
    
7. Budete mít možnost ověřit si zvládnutí problematiky na čtyřech zajímavých reálných populacích.